Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 4
Considere dois vetores e no plano. Se , mostre que eles são LD. Se , mostre que eles são LI.
Passo 1
O primeiro passo aqui é lembrar as condições para que dois vetores sejam LD ou LI. Considere dois vetor e tais que seja válida a relação
Uma solução imediata para esse problema é a solução trivial:
Se essa for a única solução da equação, dizemos que e são LI. Caso seja possível achar algum e algum diferentes de zero que satisfaçam a equação, os vetores e são considerados LD.
Passo 2
Vamos substituir os vetores e por suas componentes:
Assim,
Desta forma, podemos escrever o sistema linear homogêneo:
Naturalmente, é uma solução desse sistema, como ocorre para qualquer sistema homogêneo. A questão é: essa solução trivial é a única ou existem outras? Para responder essa pergunta, escrevemos o sistema na forma matricial:
Para que sistema tenha uma única solução (que seria a trivial), devemos ter
Nesse caso, como a única solução possível é , os vetores e são LI. Provamos, portanto, que se , os vetores são necessariamente LI.
Passo 3
Agora, se o determinante for nulo, isto é, se , o sistema é indeterminado, de modo que ele tem infinitas soluções. Com isso, garantimos que existem e tais que
Desta forma, se , os vetores são LD.
Resposta
Demonstração.