Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 6
Considere o subespaço
a) O vetor pertence a ?
b) O vetor pertence a ?
Passo 1
Para ver se um vetor pertence a , temos que ver se ele pode ser escrito como combinação linear dos vetores de , isto é,
No item (a), temos que . Assim, escrevemos
Desenvolvendo o lado direito, encontramos
Com isso, podemos escrever o sistema
Fazendo a segunda equação menos a primeira, achamos
Substituindo isso em todas as equações, encontramos
As duas primeiras equações são idênticas, então podemos jogar uma delas fora. Vamos multiplicar a terceira equação por e dividir a última por :
Como as duas últimas equações são iguais, vamos jogar a terceira fora e ficar com
É fácil ver que a solução desse sistema é e . Portanto, com
foi possível escrever
Assim, como é combinação linear dos vetores de , ele pertence a .
Passo 2
No item (b), devemos considerar . Assim, devemos escrever
Desenvolvendo o lado direito, encontramos
O sistema fica
Fazendo a segunda equação menos a primeira, achamos
Substituindo nas demais e já se livrando da primeira equação, ficamos com
Vamos multiplicar a segunda equação por e dividir a terceira por :
Olhando para as duas últimas equações, vemos que esse sistema é impossível. Desta forma, não conseguimos achar e tais que seja combinação linear dos vetores de . Portanto, não pertence a .
Resposta
Sim.
Não.