Repita o Exercício 3 usando a regra do ponto médio e os resultados do Exercício 9.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, considerando f ∈   C 2 ( [ a , b ] ) , a regra do ponto médio para aproximar uma integral é dada por

∫ a b f x   d x = b - a 2 f a + f b - b - a 3 24 f ' ' ε ,     o n d e   a < ε < b

Vamos calcular as integrais entre a e b , usando os valores aproximados obtidos no exercício 9 e o erro usando a regra do ponto médio.

A – Tendo como f x = x 4 ,   a = 0,5   e   b = 1 . A integral será igual a

∫ 0,5 1 x 4   d x = 0,19375

E o valor encontrado no exercício é igual a

∫ 0,5 1 x 4   d x ≈ 0,158203

Portanto, o erro é igual a

E r r o = 0,19375 - 0,158203 ≈ 0,035547

O erro para a regra do ponto médio é dada por - b - a 3 24 f ' ' ( ε ) , onde 0,5 < ε < 1 . Desde que

f ' x = 4 x 3   e   f ' ' x = 12 x 2

A magnitude do erro será igual a

  - b - a 3 24 f ' ' ( ε ) = - 0,5 3 24 ∙ 12 ε 2 ≤ 1 16 ≈ 0,0625

Portanto,

E r r o ≈ ± b - a 3 24 f ' ' ( ε )

O que significa que a regra do ponto médio e o valor de erro são consistentes com o resultado

Passo 2

B – A função f x = 2 x - 4 ,   a = 0   e   b = 0,5 . A integral tem como resultado

∫ 0 0,5 2 x - 4   d x ≈   - 0,267062785

O valor aproximado é dado por

∫ 0 0,5 2 x - 4   d x ≈   - 0,266666

Portanto, o erro entre a integral e a aproximação é igual a

E r r o = - 0,267062785 + 0,266666 ≈   0,000396785

O erro para a regra do ponto médio é dado por - b - a 3 24 f ' ' ( ε ) onde 0 < ε < 0,5 . A fim de encontrar um limite para o erro para a regra do ponto médio, calculamos a segunda derivada de f como segue

f ' x =   - 2 x - 4 2   e   f ' ' x = 4 x - 4 3

Utilizando um software para plotar a segunda derivada, demonstrando que ela é negativa e decrescente

Então, a magnitude do erro é no máximo

- b - a 3 24 f ' ' ε = 0,5 3 24 ∙ 4 ε - 4 3 ≤ 1 192 1 16 ≈ 0,000325

Portanto,

E r r o ≈ b - a 3 24 f ' ' ( ε )

O que indica que a regra do ponto médio e o limite de erro são consistentes com o resultado.

Passo 3

C – Tendo como função f x = x 2 ∙ ln ⁡ x , com a = 1   e   b = 1,5 , a integral atual entre a e b é igual a

∫ 1 1,5 x 2 ∙ ln ⁡ x   d x = 1 3 x 3 ∙ ln ⁡ x 1 1,5 - 1 3 ∫ 1 1,5 x 3 d x

Com isso, nós temos que

∫ 1 1,5 x 2 ∙ ln ⁡ x   d x = 1 3 x 3 ∙ ln ⁡ x - 1 12 x 4 1 1,5 ≈ 0,192259

E o valor aproximado

∫ 1 1,5 x 2 ∙ ln ⁡ x   d x ≈ 0,174330

Logo, o erro será igual a

E r r o = 0,192259 - 0,174430 ≈ 0,017929

Já sabemos como funciona o erro para a regra do ponto médio, então já podemos partir para o cálculo da primeira e segunda derivadas

f ' x = 2 x ln ⁡ x + x

E

f ' ' x = 3 + 2 ln ⁡ x

Pela configuração, já sabemos que a segunda derivada é positiva e crescente. Logo, a magnitude do erro é dada por

- b - a 3 24 f ' ' ε ≤ 3,810930 192 ≈ 0,019848  

Portanto,

E r r o ≈ - b - a 3 24 f ' ' ε

Resultados consistentes 😊.

Passo 4

D – Pegando como função f x = x 2 e - x , com a = 0   e   b = 1 , a integral nesse caso é igual a

∫ 0 1 x 2 e - x   d x ≈ 0,160602

E o valor aproximado é

∫ 0 1 x 2 e - x   d x ≈ 0,151632

E com isso, o erro entre os dois casos é igual a

E r r o = 0,160602 - 0,151632 ≈ 0,00897

Calculando a primeira e segunda derivadas, nós obtemos o seguinte resultado

f ' x = 2 x - x 2 e - x

E

f ' ' x = x 2 - 4 x + 2 e - x

O módulo para a segunda derivada no intervalo de ] 0,1 [ . Portanto

f ' ' x ≤ 2 ,   ∀ x ∈   ] 0,1 [

A magnitude do erro é

- b - a 3 24 f ' ' ε ≤ 2 24 ≈ 0,083333

Portanto, os resultados são consistentes

Passo 5

E – Tendo como função f x = 2 x x 2 - 4 , com a = 1   e   b = 1,6 . Logo, a integral é igual a

∫ 1 1,6 2 x x 2 - 4   d x ≈ - 0,733969

E o valor aproximado

∫ 1 1,6 2 x x 2 - 4   d x ≈   - 0,675324

E o erro

E r r o ≈ 0,058645

Resposta

Resposta nos passos