Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 4.Exercícios complementares - Ex. 38
Resolver o sistema matricial:
Pelo método de Gauss-Compacto.
Passo 1
Faaala, pessoal! Bora pra mais uma questãozinha? Aqui o enunciado nos pede para resolver o sistema matricial utilizando o método de Gauss-Compacto. Para resolver essa questão vamos, primeiramente, montar a matriz 3x5 associada ao sistema:
A matriz será:
Agora, de posse dessa matriz vamos começar a montar a nossa matriz compacta (que comporta as matrizes L e U ao mesmo tempo). Vamos montá-la passo a passo para não nos perdermos.
1ª linha: A primeira linha da nossa nova matriz 3x5 será a mesma da matriz original, portanto:
1ª coluna: A primeira coluna será formada pelos elementos que ocupa0m a mesma posição na matriz original divididos pelo elemento . Assim, teremos:
Passo 2
Agora, vamos partir para a segunda linha e segunda coluna. Assim, teremos:
2ª linha: A segunda linha será formada pela diferença entre os elementos que ocupam a mesma posição na matriz original e o produto da linha dois pela coluna j, limitado pela linha 1, na 2ª matriz. Meio confuso né? Hahaha. Mas vamos ver na prática como isso fica:
Faremos isso para todos os elementos dessa linha. Dessa forma, ficaremos com:
2ª coluna: A segunda coluna será formada pela diferença entre os elementos que ocupam a mesma posição na matriz original e o produto da linha 3 pela coluna 2, limitado pela coluna 1, divido pelo elemento da diagonal principal na nova matriz, assim:
Substituindo os valores, teremos:
Passo 3
Agora encontraremos a terceira linha da nova matriz:
3ª linha: A terceira linha da nova matriz vai ser formada pela diferença entre o elemento que ocupa a mesma posição na matriz original e o produto da linha 3 pela coluna j, limitado pela linha 2, na segunda matriz. Isso ficará da seguinte forma:
E faremos isso para todos os respectivos elementos da terceira linha. Substituindo os valores, teremos:
Passo 4
Agora que já temos todos os elementos nossa nova matriz, ficará:
Por fim, basta montarmos os sistemas com a matriz triangular superior. O primeiro sistema será:
Ficaremos com as seguintes equações:
Substituindo o valor de nas duas equações, teremos:
O segundo sistema, será:
Ficaremos com as seguintes equações:
Substituindo o valor de nas duas equações, teremos:
Portanto, nossas soluções serão:
E
E aqui finalizamos mais uma questão, galerinha. Nos vemos na próxima!!! 😊