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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 5.Exercícios complementares - Ex. 22

Supondo que o sistema linear A x = b , onde A é a matriz do exercício anterior, esteja sendo resolvido pelo método de Jacobi-Richardson, para quais valores de a, pode-se afirmar que:

x k - x - ∞ ≤ 1 2 x k - 1 - x - ∞ ,

onde x ( k )   e   x ( k - 1 ) são aproximações para a solução e x - é a solução exata.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide supondo que o sistema linear A x = b , onde A é a matriz do exercício anterior, esteja sendo resolvido pelo método de Jacobi-Richardson, para quais valores de a, pode-se afirmar que:

x k - x - ∞ ≤ 1 2 x k - 1 - x - ∞ ,

onde x ( k )   e   x ( k - 1 ) são aproximações para a solução e x - é a solução exata.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para supor o sistema linear seja definido por,

x k - x - ∞ ≤ 1 2 x k - 1 - x - ∞ ,

Temos que,

x k - x - ∞ ≤ 1 2 x k - x - ∞ ,

Sendo sua definição em sistema composto por,

x 1 ( k + 1 ) = α x 2 ( k ) + c 1 x 2 ( k + 1 ) = α x 1 k + x 3 k + c 2

Ficando,

x 1 ( k + 1 ) = α x 2 ( k ) + c 1 x 2 ( k + 1 ) = α x 1 k + x 3 k + c 2 → x 1 ( k + 1 ) = α + 1     e     x 2 ( k + 1 ) = 1

Chegando em,

x 1 ( k + 1 ) = α + 1     e     x 2 ( k + 1 ) = 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 1 ( k + 1 ) = α + 1     e     x 2 ( k + 1 ) = 1