Divergentes

O exercício pede um conjunto representativo na cicunferência , então acho que podemos escolher os pontos sobre o eixo:

e os pontos “médios”, onde e são iguais em módulo:

Por enquanto, vamos ter:

Agora, em cada um desses pontos, vamos traçar as componentes horizontais, dadas por , e verticais, dadas por . Nesse caso temos e , o que nos dá:

Então vamos desenhar cada uma das componentes:

Agora é só somar as componentes e traçar o vetor final!

Finalmente, vamos ter os vetores definitivos, em vermelho; e as componentes, em amarelo:

Pronto, tudo feito!

´Para desenharmos, devemos indicar em nosso diagrama que, dado um certo ponto , temos uma força associada a ele.

No caso deste nosso exercício, temos que para todo . Desta forma, temos que

Na qual, o vetor é paralelo ao vetor ficando fácil de desenhar.

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função , ou seja,

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

Vamos tomar inicialmente a derivada de na direção .

E na direção temos

Desta forma escrevemos que

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função.

Temos que o gradiente é definido por

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

Aplicando regra do produto, temos que

Para a derivada em relação a temos (aplicando a regra da cadeia):

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função e depois desenhar esse campo fazendo as curvas de nível correspondente ao gráfico.

Temos que o gradiente é definido por

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

Aplicando regra da cadeia, temos que

Para a derivada em relação a temos

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função , ou seja,

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

Vamos tomar inicialmente a derivada de na direção .

E na direção temos

Desta forma escrevemos que

Vamos, primeiro, trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, achar .

Considerando que o campo pode ser escrito como

Nós sabemos disso aqui:

Logo, se

Temos:

Lembrando de que é um vetor constante.

Agora, vamos ao outro lado da equação:

Como

Temos

Isso nos dá que

Portanto, mostramos que o lado esquerdo da equação é, de fato, igual ao direito.

Não se assusta com esse “solenoidal”. Um campo ser solenoidal é simplesmente um campo vetorial que seu divergente vale .

Ou seja:

Então, é só calcular o produto escalar e resolver a equação para encontrarmos .

Então vamos lá!

Precisamos calcular as derivadas parciais:

Que parecem bem bizarras, mas saem pela regra do quociente, certo?

Um algebrismo meio chato, mas por sorte, podemos repetí-lo para , é só substituir o que é por e vice-versa. Aí temos:

Agora é somar e ver no que dá:

Tudo isso pra dar no final, que raiva, né? haha

a)

A gente viu na teoria que o divergente é, simplesmente:

Ou seja, o produto escalar do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

Como nosso campo aqui é bidimensional, vamos usar só as duas primerias componentes e calcular as derivadas:

b)

Vamos repetir a fórmula do item a):

Mas agora temos um capo vetorial tridimensional, então vamos usar o operador completo:

Algumas derivadas mais

c)

Parece que a questão complicou um pouco agora, mas a fórmula é sempre a mesma, não esqueça:

Algumas derivadas não tão triviais quanto as anteriores, mas nada que você não saiba calcular, né?

d)

Pra terminar, temos um campo meio estranho, com uma componente em só. Mas nada impede de aplicarmos a fórmula:

Eita, agora sim uma derivada chata, mas vamos pela regra do produto e da cadeia:

Ficou feio, mas as vezes é assim mesmo, fazer o que...

Lembre-se que para a primeira derivada, como é em relação a x, tomamos como se fosse uma constante. Já pra segunda derivada, que é em função de , tomamos como constante, tranquilo? Ficamos então com as derivadas:

Similar ao passo anterior, mas atenção que agora temos uma derivada em função a também.