Integrais de Linha

Opa, tudo bem? Vamos começar com nossos exercícios de integrais de linha!

Nesse exercício não vamos precisar resolver uma integral, vamos apenas parametrizar a curva pedida. E como já diz a nossa dica, vamos precisar descobrir a equação de cada uma das retas pra poder parametrizar a curva inteira. Antes de mais nada, vamos esboçar esse triângulo

Beleza, precisamos então, para cada um dos lados do triângulo, encontrar o vetor direção e depois parametrizar o segmento de reta tomando cuidado com o sentido que escolhemos.

Tendo o vetor direção e sabendo o ponto inicial , sabemos que a parametrização do segmento vai ser

Depois escolhemos ou para determinar os limites de , vamos lá?

Vamos começar pela reta que se encontra no eixo , vamos chamá-la de .

Ela é o segmento de reta que liga os pontos e , certo? Seu vetor direção é dado por

É importante lembrar que , que seria o vetor no outro sentido, tome cuidado com isso!

Beleza, nessa reta aqui, já temos dois pontos e , podemos escolher qualquer um deles como , o que vai mudar vão ser os limites de .

Aqui vou fazer os dois casos só pra você ver como fica, nas próximas retas vamos sempre escolher apenas um.

Para o ponto a parametrização fica

Ué? pode ser igual a zero?! Pode sim! O que isso quer dizer é que, para qualquer valor de , a coordenada da reta vai sempre ser zero. Se você olhar pro esboço dá pra perceber que isso é verdade.

E quais os limites de nesse caso? Vamos ver isso por , que vai de a

Quando temos:

Quando temos:

E se escolhêssemos o outro ponto dessa reta pra fazer a parametrização? Olha só como fica!

Sendo que vai de a também, com isso

Quando temos:

Quando temos:

Ambas parametrizações estão corretas!

Vamos para o próximo seguimento de reta, chamaremos de que liga a .

Para encontramos o vetor direção é só fazer o ponto final menos o inicial, certo?

Escolhendo o ponto para parametrizar essa reta ficamos com

De novo um termo é igual a zero e, de novo, isso não é problema! Veja que realmente sempre é zero nessa reta, tranquilo? Vamos ver os limites de agora.

Sabemos que vai de até , portanto

Vamos para o último segmento de reta , aquele que liga a .

Novamente vamos encontrar o vetor direção pela diferença entre os pontos final e inicial

Escolhendo o ponto para parametrizar a reta, ficamos com

Para determinar os limites de , sabemos que começa valendo zero no ponto e termina valendo no ponto , portanto

Veja que, pela parametrização de

Portanto, de fato essa parametrização leva até .

Ufa, conseguimos! Agora só juntando tudo pra ficar bonito, temos:

Onde

Vamos lá pessoal!

Essa curva aí é uma daquelas clássicas dada na teoria, lembra? Se não lembra, não tem problema, se liga aqui, quando falamos de elipse e circunferência geralmente temos essa fórmula aqui:

Nesse nosso caso não está igual a , né? Mas isso não é problema, é só dividir por dos dois lados, fica assim

E isso nos dá que

Agora nossa curva ficou com a cara de uma elipse. O esboço é esse aqui:

Pra saber como desenhá-lo você olha a raiz quadrada do valor do denominador que está embaixo de cada variável. Então no nosso caso, quem está embaixo o é o , e . Por isso ela corta o eixo nesses valores.

O mesmo vai acontecer com . Quem está embaixo dele é o , e . Assim, ela corta o eixo , nesses pontos.

Pra parametrizar isso aí a gente usa a relação fundamental da trigonometria

O formato é parecido com a nossa curva. Se chamarmos:

Temos que

Tirando a raiz dos dois lados das equações encontramos:

Como se trata se senos e cossenos, temos que:

Teoricamente essa seria a nossa resposta, só que a questão bota uma outra limitação ali, ela diz que

Ué, mas o que isso quer dizer? Pensa o seguinte, nessa elipse completa os limites de e são

A gente consegue ver isso no nosso gráfico!!

Existem pontos em que o produto de por não dá positivo (maior que zero). Poh, então como podemos garantir que de fato é positivo?

Bom, vamos ter que fazer um estudo de sinal aqui, pensa só, quando é positivo e é positivo, o produto também vai ser positivo! Agora, quando um é positivo e o outro negativo, o produto dá negativo. De forma geral é isso aqui

Então, para que , precisamos que e sejam positivos ou que ambos sejam negativos. E quando isso acontece? O plano é dividido em quatro quadrantes, vamos analisar cada um deles separadamente aqui

No 1º quadrante temos que , nessa região e são positivos, então o produto também é maior que zero

No 2º quadrante temos que , aqui é negativo e é positivo, então o produto é menor que zero

No 3º quadrante temos que , nessa região e são negativos, então o produto é maior que zero

No 4º quadrante temos que , nessa região é positivo e é negativo, então o produto é menor que zero

Portanto, somente no primeiro e no terceiro quadrante temos , então os limites de são

Opa, vamos continuar com nossas questões de integral de linha!

Bom, galera, interseção de superfícies aqui, né? Vamos esboçar tudo aqui antes de mais nada pra visualizar melhor a questão

A curva é essa aqui

Para parametrizar isso vamos ter que analisar as equações das superfícies, temos

Vamos analisar essa primeira equação do cilindro ali de cima, podemos parametrizar pela equação fundamental da trigonometria

Vamos chamar

Então temos que

Como a gente tem uma volta completa, temos que

Tranquilinho, né? Foi porque escolhemos essa equação, que é uma daquelas clássicas, primeiro! Sempre comece pela equação que é fácil de ser parametrizada, beleza?

Vamos continuar aqui então. Já temos e parametrizados, certo? Show falta só !

Conseguimos encontrar os parâmetros de pela equação do plano!

Deixando sozinho, temos

Passando o que tá multiplicando, dividindo pro outro lado ficamos com

Substituindo os valores de e :

E pronto!! Juntando tudo. Agora só pra organizar, nossa curva pode ser escrita de uma forma única como

Faaaaaaala aí! Vamos seguindo com o nosso estudo de integrais de linha,, uhul!

A integral de linha vai ser representada assim:

Onde precisamos escrever tudo de maneira parametrizada.

Temos que e pelo próprio enunciado.

A parametrização da nossa curva nos dá e .

Então temos a nossa parametrização

Agora que a gente já tem tudo formulado, vamos começar calculando a derivada da nossa parametrização em relação a , pois vamos precisar dela para colocar em .

Para derivada de a gente vai fazer a regra do produto, lembrando que a regra do produto é dada desse jeitinho aqui:

Para essa nossa derivada temos

E isso nos dá

Para derivada de vamos fazer a regra do produto de novo

Ficamos com

Então a derivada da nossa parametrizaçãoo que era

Fica

Colocando em evidência,Que podemos escrever como

Agora, calculamos , lembrando que o módulo é escrito desse jeitão aqui

Então pegando e da nossa derivada, temos

Podemos tirar o da raiz, ficando com e vamos abrir esses produtinhos notáveis

Cortando esses termos que destacamoso com o , ficamos com:

Como , temos

Podemos, então, substituir na integral, escrevendo em função de , ficamos com:

Tirando a da integral porque é uma constante multiplicando, temos que:

Já temos tudo que precisávamos, agora vVamos resolver essa integral fazer uma integração por partes., Chamando

E a formula da integração popr partes é:

Ficamos com aquela última integral pra resolver, e será necessária outra substituição por partes. Chamando, agora,

e a integral passa a ser:

Multiplicando o e arrumando melhor, ficamos com:

Perceba que estamos dando voltas. Então vamos passarPassando esse termo destacado a última integral para o outro lado, e teremos:temos

Repara que essa integral é exatamente a que estávamos tentando calcular. Vamos deixar ela sozinha passa do o dDividindo para o outro ladopor temos

Agora vamos voltar a nossa integral que era

Substituindo o valor que encontramos, temos que

Substituindo os limites de integração ficamos com

Que nos dáa como resultado

Opa, fala ai tranquilinho?? Vamos seguir para ficar fera em integrais de linha!

O que o exercício pede é o fluxo, que podemos calcular por:

Mas a nossa curva é um triângulo, composto de 3 retas, de forma que:

Então, como é a união entre as retas, temos que nossa integral pode ser separada assim:

Então vamos calcular uma por uma pra ficar bem organizado!

Vamos começar por , que é a reta que vai de a , que pode ser parametrizada por:

Ela é o segmento de reta que liga a , certo? Seu vetor direção, que é da forma fica

Para o ponto , temos:Começando por

Agora para

Então

Logo, nossa parametrização fica:

Agora, para encontrar o vetor normal, vamos fazer:

Então nosso vetor normal é

E jogamos na integral, que é do tipo

Ficamos com:

Abrindo esse produto notável, ficamos com:

Dando um jeitinho nisso, temos

Agora, multiplicando com o nosso vetor normal, temos:

E isso nos da

Agora é só resolver a integral que fica:

Substituindo os valores, temos isso daqui:

Até agora tudo bem, vamos ver a próxima!

Vamos repetir as contas, mas agora pra , que é a reta de a . Fazendo a mesma parametrização do passo anterior, chegamos em

E o vetor normal a gente acha da mesma forma:

Então jogamos na integral de novo:

Isso nos dá

Fazendo essa integral, temos

Substituindo os valores dos limites de integração, ficamos com:

Essa também já foi! Só mais uma agora, vamos lá!

Pra fechar, temos que é a reta ligando a , parametrizando da mesma maneira dos outros, temos que

De novo, vamos ter o vetor normal:

E é só jogar na integral:

Resolvendo essa integral, temos

Substituindo os valores dos limites ficamos com

Pronto, agora é só somar tudo pra termos o resultado final!

Lembrando que gente tinha:

Sendo que

Então o fluxo exterior ao triângulo vai ser:

Nada tão bizarro assim, só um pouquinho trabalhoso, né? Mas agora já foi, o que importa é que resolvemos a questão. Haha 😊