Teorema de Green

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta e uma parábola :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Vamos relembrar o que diz o teorema de Green? To sentindo que você disse “Siiim” então vambora, o teorema de Green é isso aqui para curvas fechadas, orientada positivamente (sentido anti horário) e sem singularidade

Então vamos calcular

Temos

Então temos que

Ficando com:

Que pode ser escrito desse jeitinho aqui para podermos colocar esse para fora quando formos integrar!

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

Onde é a região limitada pela curva , que vimos lá em cima. Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que varia entre

Como está na parte de baixo, ela será nosso limite inferior, e está em cima então vai ser nosso limite superior, ok?

E varia entre

(é uma Região do tipo I, lembra dela? Hehe)

Nossa integral passa a ser então:

Começaremos integrando em relação a :

Integrando a parte de dentro:

Agora em relação a resolvendo a integral de fora:

Substituindo os valores, temos

Isso dá

Podemos simplificar os termos e temos

Pra fazer essa soma precisamos encontrar um denominador como a todas das frações. Fazendo o MMC, temos que o denominador é , então ficamos com

Agora que já está com o denominador igual, resolvemos a parte de cima e repetimos a parte de baixo. Que nos dá

Opa, tudo bom? Vamos seguir com nosso estudo do Teorema de Green.

Vamos fazer um esboço da curva:

Como é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio e outra de raio . Como temos e , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por segmentos, cada um com uma parametrização. Resolvendo pela integral de linha, isso ia gerar muito trabalho. O que é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Vamos relembrar o que diz o teorema de Green? To sentindo que você disse “Siiim” então vambora, o teorema de Green é isso aqui para curvas fechadas, orientada positivamente (sentido anti horário) e sem singularidade

Onde a intenção é transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla bem mais simples.

Então vamos calcular

Temos

Então temos que

O campo vetorial da questão pode ser escrito como:

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

Note que a curva está orientada positivamente!

Como a região está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

Pelo próprio gráfico, vemos que

Que equivale a de circunferência. Os valores de variam entre os dois arcos, logo

Temos, então:

Colocando em evidência dentro do parênteses, temos

Agora podemos calcular a integral de dentro. Integrando em relação a temos (lembrando que tudo que tem é considerado como constante!

Integramos, então, em relação a :

Substituindo os valores, temos:

Isso nos dá

Que dá

Prontinho! E nem doeu rs.

Opaaa, e ai! Vamos continuar no nosso estudo para ficar fera no Teorema de Green!!

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? O campo vetorial envolve secantes, tangentes, termos não muito agradáveis de se trabalhar! Vamos tentar, então, aplicar o Teorema de Green e ver se encontramos algo mais simples.

A curva em que devemos integrar é uma semicircunferência, pois, elevando a equação ao quadrado, temos

Elevando os dois lados ao quadrado, temos

Passando pro outro lado, temos

Como deve ser maior que zero, queremos a parte de cima da circunferência de raio centrada em . Mas essa curva não é fechada, certo? Então vamos fechá-la na maneira mais simples: com um segmento de reta que liga seus pontos final e inicial.

A curva final será, portanto:

Veja que ela está orientada positivamente, não se esqueça disso!

Aplicando, então, o Teorema de Green, teremos, então:

Então, para achar a integral de linha da nossa curva vamos passar a integral da nossa reta pro outro lado e ficamos com:

Vamos agora calcular :

Aqui o primeiro termo é constante pra gente pois depende só de e estamos derivando em relação a .

Agora :

Por fim:

Aplicando o teorema de Green, temos:

Sendo que

Como se trata de uma semicircunferência de raio , e a área da circunferência é

Assim:

Falta, agora, calcular a integral sobre o segmento , para isso, vamos parametrizá-lo. Como temos o ponto inicial e o final ligados pela reta , uma boa parametrização seria

Onde temos

( é constante e varia).

Derivando essa expressão, temos

Montando a integral de linha sobre teremos:

Então, substituindo nos pontos da nossa função , temos que dá

Veja que escrevemos o campo em função da parametrização de .

Fazendo a diferença entre esses dois resultados, finalmente calculamos a integral sobre :

Como achamos que

Prontinho. Matamos mais essa!

Oieee, to aqui de novo para te dar energia virtual para continuar estudando o nosso queridíssimo Teorema de Green! 😊

Podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:

E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:

Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região é igual a essa integral dupla sobre . Sendo orientada no sentido anti-horário (positivo).

E a condição que temos que atender é, na verdade:

Já que

Então, tudo o que precisamos é de um campo que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil, né? Pode ser:

Nesse caso

Show! Agora podemos aplicar Green:

Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de em .

Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos a reta (em vermelho) e a reta , que tem inclinação menor que a primeira (em azul). Temos também a curva (em verde):

A região é essa aí em cinza.

Então, a fronteira dessa região, que vai ser nossa curva tem partes, não é? Vamos precisar calcular integrais de linha.

Vamos chamar de o segmento vermelho, de o azul e o verde. Isso nos dá:

Vamos, agora, parametrizar esses segmentos:

pertence à reta , portanto;

Para achar o ponto final devemos achar a interseção

Como e temos que

E isso só acontece quando

Assim,

pertence à reta , logo:

De novo, precisamos determinar a interseção

Como e temos que

Ou seja,

Já pertence a , o que nos dá:

Com variando de a .

Agora vamos derivar essas parametrizações:

Para

Para

E para

Agora, vamos aplicar a fórmula:

Onde

Para :

Para :

Para :

Levando o que temos paras as integrais:

Fazendo as multiplicações, temos:

Agora é resolver isso aí

Opa, e ai!! Bora seguir com nossos estudos uhul!

Vamos fazer um esboço da curva:

A parametrização desse arco envolveria senos e cossenos, que, quando substituídos na expressão do campo vetorial, tornariam a integral muito complicada. Vamos, então, aplicar o Teorema de Green aqui.

Perceba que a curva em que vamos integrar não é fechada, ela é composta apenas pelo arco de circunferência.

O que faremos então? Vamos fechá-la, formando uma curva , onde é o segmento de reta horizontal e o vertical. Vamos orientar essa curva de positivamente.

Teremos, então:

Agora, vamos isolar o termo que queremos, :

Como os segmentos e são simples de parametrizar, vamos calculá-los pela definição mesmo.

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

Vamos agora calcular :

Sendo a fronteira da nossa região , aplicando o teorema de Green, temos:

E como

Dividimos por 4, pois só estamos olhando o primeiro quadrante. Mas calma, essa ainda não é a resposta, ainda precisamos calcular a integral em e em . Guarde esse resultado.

Vamos parametrizar os segmentos e .

Para : Este é um segmento horizontal em que e varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: , onde varia de a .

Para : Este é um segmento vertical em que e varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: , onde varia de a .

Agora precisamos derivar essas parametrizações e vamos encontrar:

Substituindo esses valores na fórmula:

Temos:

Isso nos dá

Então

Para

Então temos que

O que queremos é a integral em . Que é:

Substituindo os resultados que encontramos:

Temos que:

Faaaala aí! Preparados para mais uma questão de Teorema de Green? Vambora então!

Bom, já deu para ver que calcular essa integral aí pela definição deve dar muito trabalho, né? Vamos tentar aplicar Green então. Temos:

Então vamos calcular

Então temos que

Então, temos que

Bom, como é uma expressão relativamente simples, quer dizer que estamos no caminho certo!