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Classificação de EDOs

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Teoria

Módulo 2

Teoria de Classificação de Edos

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

“As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII.” Boyce e Di Prima. Com relação às equações diferenciais:

  1. Chama-se equações diferenciais toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
  2. Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
  3. Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Estão corretas as afirmações:

  1. (I) e (III)
  2. (I), (II), (III)
  3. (II) e (III)
  4. (I) e (II)
  5. (I)

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos analisar cada afirmação pra verificar as que são corretas.

A primeira nos diz que equações diferenciais são equações que possuem ao menos uma derivada na sua formação e que a incógnita é uma função. E é isso mesmo! É assim que a gente identifica uma EDO, olha só esse exemplo:

4 y ' ' + 12 y ' = 9 x

Temos uma relação de igualdade, isso caracteriza uma equação, temos também derivadas na formação dela e uma das incógnitas é uma função y , por isso é uma EDO!

Então a afirmação (I) está correta!

Passo 2

Vamos ver a segunda. Ela fala sobre ordem de uma EDO.

Pegando o nosso mesmo exemplo ali de cima:

4 y ' ' + 12 y ' = 9 x

Veja que nossa derivada de maior ordem é y ' ' , que é de segunda ordem, certo? Então a ordem dessa EDO é 2 .

Ou seja, a afirmação está correta, pois diz que a ordem é “a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.”

Então a afirmação (II) também está correta!

Passo 3

E por último vamos ver a terceira afirmação. Voltando para nosso exemplo:

4 y ' ' + 12 y ' = 9 x

A nossa derivada de maior ordem, y ' ' , está elevada a 1 , certo? É esse o grau da EDO!

Então a afimação que diz que é: “o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação” tá certa!

Então a afirmação (III) está correta também!

A alternativa então é a b ) ! 😊

Resposta

b) (I), (II) e (III)

Exercício Resolvido #2

A ordem e o grau da equação diferencial y ' ' ' - 4 y ' ' + x y = 0 é:

  1. 1ª ordem e 3º grau
  2. 3ª ordem e 1º grau
  3. 3ª ordem e 2º grau
  4. 3ª ordem e 3º grau
  5. 2ª ordem e 2º grau

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos classificar essa EDO aqui:

y ' ' ' - 4 y ' ' + x y = 0

Bom, pra saber a ordem, a gente olha a maior ordem da derivada que tem na EDO.

Aqui é: y ' ' ' , que é de 3 ª ordem, certo?

Então é isso, essa é uma EDO e de 3ª ordem!

Passo 2

Agora vamos ver o grau. A gente já viu que a derivada de maior ordem é y ' ' ' .

O grau é dado pelo expoente dessa derivada, no caso 1 , porque:

y ' ' ' = y ' ' ' 1

Então é uma EDO de 1º grau!

A alternativa correta então é a b ) !

Resposta

b) 3ª ordem e 1º grau

Exercício Resolvido #3

Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:

y ' ' 2 + 3 y y ' + x y = 0

  1. Ordem 2 e grau 2
  2. Ordem 1 e grau 3
  3. Ordem 1 e grau 2
  4. Ordem 2 e grau 1
  5. Ordem 1 e grau 1

Passo 1

Olá! Tudo beleza?

Agora a gente vai classificar essa EDO aqui:

y ' ' 2 + 3 y y ' + x y = 0

Vamos lá, a derivada de maior ordem aqui é y ' ' , certo? Que é uma derivada de segunda ordem! Então nossa EDO também é de ordem 2.

Passo 2

Vamos ver o grau agora...

A gente já viu que a derivada de maior ordem é y ' ' . Vamos focar nela então.

y ' ' 2 + 3 y y ' + x y = 0

O expoente dela aqui é 2 . Então o grau da nossa EDO é 2!

y ' ' 2

Então temos uma EDO de ordem e grau 2😉

Resposta

  1. Ordem 2 e grau 2

Exercício Resolvido #4

Determine a ordem e o grau da equação diferencial y ' 3 + e x = 0

  1. Grau 1 e ordem 1
  2. Grau 3 e ordem 2
  3. Grau 2 e ordem 2
  4. Grau 3 e ordem 3
  5. Grau 3 e ordem 1

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos classificar mais essa aqui!

y ' 3 + e x = 0

Bom, a derivada de maior ordem aqui é y ' , e ela é de ordem 1. Então nossa EDO também tem ordem 1!

Passo 2

Agora vamos ver o grau da EDO:

y ' 3 + e x = 0

Já vimos que a derivada de maior ordem é y ' , o grau é dado pelo expoente dessa derivada. Que nesse caso aqui é 3 . Então o grau da nossa EDO é 3.

Então temos grau 3 e ordem 1, alternativa e) 😊

Resposta

e) Grau 3 e ordem 1

Exercício Resolvido #5

Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:

y ' ' + 3 y y ' = e x

  1. Ordem 1 e grau 1
  2. Ordem 2 e grau 1
  3. Ordem 1 e grau 2
  4. Ordem 2 e grau 2
  5. Ordem 1 e grau 3

Passo 1

E aí, tudo bem?

Vamos classificar mais essa EDO aqui:

y ' ' + 3 y y ' = e x

Pra analisar a ordem, vamos ver qual a derivada de maior ordem que a gente tem aqui. Nessa EDO é y ' ' , certo? É uma derivada de segunda ordem.

Portanto, essa EDO é de ordem 2😊

Passo 2

E o grau?

O grau da EDO é dado pelo expoente da derivada de maior ordem. Já vimos que a derivada de maior ordem é y ' ' , e o expoente dela é 1, então o grau da nossa EDO é 1 😉

Temos então uma equação diferencial de ordem 2 e grau 1! Alternativa b)!

Resposta

b) Ordem 2 e grau 1

Exercício Resolvido #6

Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e seu grau encontramos:

y ' ' + 3 y ' + 6 y = sen ⁡ x

  1. Ordem 1 e grau 3
  2. Ordem 1 e grau 2
  3. Ordem 2 e grau 2
  4. Ordem 1 e grau 1
  5. Ordem 2 e grau 1

Passo 1

Opa! Vamos classificar mais essa EDO aqui:

y ' ' + 3 y ' + 6 y = sen ⁡ x

Pra ver a ordem, vamos ver qual a derivada de maior ordem que a gente tem, que aqui é:

y ' '

Como é uma derivada de segunda ordem, a ordem na nossa EDO também é 2!

Passo 2

Pra ver o grau, a gente vai olhar o expoente da derivada de maior ordem. Já vimos que a derivada de maior ordem é y ' ' , e o expoente dela é 1. Então o grau da EDO é 1 !

Entãoooo..

Temos uma equação diferencial de ordem 2   e grau 1 , alternativa e) 😊

Resposta

Letra E - Ordem 2 e grau 1

Exercício Resolvido #7

Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:

y ' ' 3 + 3 y ' + 6 y = tan ⁡ x

  1. Ordem 2 e grau 3
  2. Ordem 2 e grau 2
  3. Ordem 1 e grau 1
  4. Ordem 3 e grau 3
  5. Ordem 1 e grau 3

Passo 1

E aí, vamos classificar mais essazinha?

y ' ' 3 + 3 y ' + 6 y = tan ⁡ x

Pra classificar a ordem, vamos ver qual a derivada de maior ordem que a gente tem aqui.

Nesse caso é y ' ' , que é uma derivada de ordem 2.

Sendo assim, a ordem da EDO também é 2 😉

Passo 2

E pra classificar o grau da EDO, vamos ver o expoente da derivada de maior ordem, ou seja, o expoente de y ' ' aqui.

Olhando para a equação, vemos que o expoente é 3, então o grau da EDO é 3 também!

Então temos uma EDO de ordem 2 e grau 3, alternativa a) 😘

Resposta

  1. Ordem 2 e grau 3

Exercício Resolvido #8

Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:

y ' ' ' 2 + 10 y ' + 90 y = sen ⁡ x

  1. Ordem 2 e grau 2
  2. Ordem 1 e grau 4
  3. Ordem 1 e grau 3
  4. Ordem 2 e grau 3
  5. Ordem 3 e grau 2

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Queremos classificar essa EDO aqui:

y ' ' ' 2 + 10 y ' + 90 y = sen ⁡ x

Para classificar quanto à ordem, vamos ver qual é a derivada de maior ordem aqui.

Nesse caso é y ' ' ' , que é uma derivada de ordem 3.

Portanto, nossa EDO é de ordem 3😉

Passo 2

Agora vamos classificar quanto ao grau. Para isso, analisamos o expoente da derivada de maior ordem, ou seja, aqui vamos ver o expoente de y ' ' ' na equação.

Olhando para a equação, vemos que o expoente é 2, ou seja, o grau da nossa EDO é 2!

A equação diferencial do exercício então tem ordem 3 e grau 2, alternativa e) 🤗

Resposta

e) Ordem 3 e grau 2

Exercício Resolvido #9

Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y ' = f x , y , obtemos respectivamente:

  1. 2 e 2
  2. 3 e 1
  3. 2 e 1
  4. 1 e 2
  5. 1 e 1

Passo 1

Opa! Essa aqui tá uma cara um pouquinho diferente, mas não se preocupe, é o mesmo esquema...

y ' = f ( x , y )

Pra ver a ordem, a gente analisa a derivada de maior ordem, que aqui é:

y '

Como é uma derivada de primeira ordem, a ordem da derivada é 1 😊

Passo 2

E o grau da derivada é dado pelo expoente da derivada de maior ordem, ou seja, o expoente de y ' aqui.

Olhando na equação, vemos que é 1, ou seja, o grau também 1!

Temos então uma EDO de ordem 1 e grau 1, alternativa e) 🤩

Resposta

  1. 1 e 1

Exercício Resolvido #10

Considere a equação:

L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + Q = 2 - t 3

Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são, respectivamente:

  1. 2 e 3
  2. 2 e 1
  3. 1 e 0
  4. 2 e 2
  5. 3 e 2

Passo 1

Opa! Vamos classificar essa EDO esquisita aqui:

L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + Q = 2 - t 3

Bom, a maior derivada aqui é:

d 2 Q d t 2

Que é uma derivada de segunda ordem, certo? É como se fosse Q ' ' .

Então a ordem dessa EDO é 2! 😊

Passo 2

Agora vamos ver o grau da EDO!

A gente analisa o expoente da derivada de maior grau, no caso o expoente de:

d 2 Q d t 2

O expoente aqui é 1! Veja que temos:

d 2 Q d t 2 1 =   d 2 Q d t 2

Veja só, esses 2 no d 2 e no t 2 são pra indicarem a ordem, não o grau, beleza? Cuidado pra não confundir😉

Temos então uma EDO de ordem 2 e grau 1, alternativa b) 😁

Resposta

b) 2 e 1