EDOs Separáveis

A primeira coisa que vamos fazer aqui é tentar reescrever essa equação no formato característico de equação separável, ou seja, separando o do beleza?

Então vamos ter:

Colocando em evidência:

Maravilha, veja que temos uma multiplicação de uma função só em e outro só em . Então conseguimos escrevê-la como uma EDO separável.

Agora, jogando tudo que tem para a direita e tudo o que tem para esquerda, ficamos com:

Lembrando que para o denominador da fração não ser igual a zero.

Feito isso podemos começar a nossa receita de bolo de separável integrando os dois lados. Vamos começar integrando o lado direito:

Aqui nós temos podemos fazer uma substituição onde,

Então ficamos com:

Voltando agora com nossa expressão original de

Integrando agora a parte direita da EDO, ou seja, a parcela que tem , temos:

Ou seja,

Agora que já temos nossas integrais, podemos retornar a nossa igualdade.

Igualando as duas integrais temos:

Repara que podemos diminuir um pouco essa expressão juntando essas duas constantes de integração, fazendo ela virar uma única, ou seja,

Assim já está correto mas pode acontecer do professor pedir para você dar a resposta em formato exponencial, nesse caso vamos seguir para o próximo passo.

Se quisermos deixar de uma forma explícita, vamos jogar a exponencial dos dois lados. Ou seja, o vai sumir e tudo o que estava do lado direito da equação vai ser o expoente do :

Na letra (a) nós precisamos conferir se a equação é separável, para isso temos que isolar e ver se vai ser o produto de uma função só de com uma função só de , show?

Então vamos começar passando o da esquerda para a direita da equação:

Agora jogando o para o outro lado,

Com isso vemos que a EDO realmente é uma equação separável, pois há uma multiplicação entre os parênteses, sendo o primeiro é só de e o segundo só de .

Agora que sabemos que a equação é separável, a letra (b) nos pede para resolver. E para isso temos que multiplicar cruzado deixando tudo com de um lado e tudo com do outro.

Agora vamos integrar dos dois lados,

A integral do lado direito é a famosa:

Dessa forma,

Mas e a integral do lado esquerdo?

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

Vamos começar dando uma arrumada nisso,

Como temos uma fração no denominador, vamos repetir a parte de cima e multiplicar pelo inverso da fração que está embaixo. E vai ficar assim:

Agora que já ficou um pouco melhor, vamos resolver fazendo substituição:

Colocando isso na integral,

Resolvendo a integral vamos ter,

E agora voltando para ,

Voltando para nossa integral vamos ter,

Juntando as constantes de integração do mesmo lado teremos:

E como são constantes podemos escrever assim:

Vamos também passa esse para o outro lado da equação, ficando com:

Agora temos que isolar o , e pra isso vamos usar uma propriedade de logaritmo que fala,

Então esse que está na frente do vai subir lá por expoente de :

Como é sempre positivo, podemos tiras as barrinhas do módulo

E para deixar o sozinho, precisaremos aplicar a exponencial dos dois lados da igualdade. Fazemos isso sempre que quisermos tirar alguma coisa de dentro de um logaritmo.

Assim vamos poder cortar o com o e vai sobrar só a parte de dentro do

Ainda podemos separar o expoente da expressão que está do dado direito, fazendo:

Isso vai deixar a gente cortar o com o deste lado também

Podemos deixar assim que a resposta já está certa, maaaas é comum darmos uma embelezada maior nela.

Para deixar a resposta mais bonita podemos fazer sendo , porque ele é todo uma constante. Então,

Então temos,

Podemos fazer ainda

E com isso vamos ter,

Agora acabou! 😉

Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável.

Pra isso podemos jogar tudo o que é para a esquerda e tudo o que é para a direita temos:

Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.

Vamos integrar cada lado da equação separado começando pelo lado esquerdo. Dessa forma:

Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:

Aqui vamos usar,

Onde,

E,

Então teremos:

Dessa vez vamos deixar para colocar a constante de integração no final, beleza?

Integrando o outro lado da equação:

Aqui nós vamos precisar abrir o produto notável, lembrando que:

Mas nesse caso o nosso vai ser representado pelo e o por 1. Então,

Vamos separar as parcelas e simplificar pra ficar mais fácil de integrar:

Resolvendo essas integrais, teremos:

Agora é só juntar nossos resultados. Igualando as duas integrais obtidas e incluindo a constante de integração, vamos ficar com:

Repara que como deixamos a constante de integração para o final, dessa vez não vamos precisar nos preocupar com várias constantes de nomenclaturas diferentes.

Agora vamos reescrever ela? Não dessa vez! Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.

Eu particularmente gosto de enunciado assim, bem diretão! O que ele quer da gente é simplesmente achar a solução geral dessa EDO. Vamos lá então. A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.

Lembra lá da teoria? Pra sabermos se uma equação é separável ou não, precisamos que ela tenha a forma

Nesse caso acima é exatamente o que temos, onde

Para começar a resolução, nosso primeiro passo é simplesmente trocar por

Agora teríamos que isolar o termo , mas isso já está feito. Seguindo nosso passo a passo da teoria, nosso próximo passo é então separarmos para o lado esquerdo da igualdade tudo aquilo que está em função de , e tudo aquilo que está em função de vai para o lado esquerdo. Ficamos então com

Observe que a parte com a raiz passou dividindo para o lado esquerdo da igualdade, já que estava multiplicando quando estava do lado direito.

Pra ficar mais organizado podemos simplesmente reescrever isso como

Agora que já está separado, temos que aplicar a integral dos dois lados

Resolvendo primeiro o lado direito dessa igualdade temos

Ela é uma integral de polinômio, então teremos:

Onde é nossa constante de integração.

Observa que podemos tirar esse 2 de dentro da integral já que é apenas uma constante. Ficaremos então com.

Mas e o lado esquerdo?

Queremos resolver essa integral

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

Mas infelizmente isso aí é uma coisa que vamos ter de memorizar, porque essa integral é tabelada.

Voltando para a EDO, vamos substituir as integrais que achamos.

Antes tínhamos

Já descobrimos as integrais dos dois lados que foram

Como temos constantes dos dois lados da igualdade, podemos reescrever ela de um lado só

Por último agora precisamos isolar o y. Chato esse passo aí por que ele está dentro de um , né? Mas pra isso vamos precisar de uma propriedade que diz que:

Veja que o que está dentro do nosso será igual ao seno do resultado.

No nosso caso, e

Então teremos para a solução explícita

E com essa propriedade a gente encontra o resultado.

a) A letra (a) nos pede simplesmente pra encontrarmos a solução geral, vamos lá então, pra começar precisamos perceber que essa EDO é uma separável. Complicado notar isso quando precisamos ter

E o que temos não parece muito com isso que procuramos.

Vou precisar agora que você se lembre de uma propriedade da exponencial. Temos que

No caso da nossa questão temos

Então reescrevendo a EDO

Observa que pra esse caso agora temos exatamente o que estávamos procurando, um produto de duas funções, uma só em , e outra só em .

Para começar a resolução devemos trocar por

Vamos passa pra o lado esquerdo tudo o que está em função de e para o direito tudo o que está em função de

Vamos deixar isso com uma cara mais amigável subindo esse .

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

O lado esquerdo fica tranquilinho já que é simplesmente um exponencial e temos a integral da exponencial é a própria exponencial:

Onde é nossa constante de integração. Assim, ficamos com:

Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo

Queremos resolver essa integral

Pra resolver isso vou precisar que você se lembre de como resolver a integral por partes. Vamos seguir a ordem do LIATE (log, inversas, algébrica, trigonométrica, exponencial), onde essa ordem é a que vamos respeitar para escolher o

Como não temos nenhuma função log ou inversa, nosso então será o .

Tudo o que sobra dentro da integral é então o

A nossa integral vai ficar

Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer já que já vimos que a integral da exponencial é ela mesma, então vamos ter

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

Agora precisamos isolar aquele , pra isso, vamos aplicar a função inversa a exponencial dos dois lados, isso é, o , assim conseguimos isolar o

Cortando o com o do lado esquerdo ficamos com:

Que é a nossa solução geral pedida no item a).

b) Agora precisamos aplicar a condição inicial para descobrirmos o valor da constante.

Ele disse no enunciado que

Então, vamos substituir o por 0 e igualar a 2. Assim teremos uma equação onde vamos conseguir achar o valor da constante

Substituindo todos os por zero

Para achar o valor de vamos aplicar a exponencial em ambos os lados, já que dessa vez queremos isolá-lo.

Já que temos o valor de C podemos então substituir na solução que tínhamos antes

Prontinho, respondida a letra d).

Lendo o enunciado temos um pedido bem diretão. É pra gente encontrar a solução da EDO...tranquilo, mas como? Vou precisar que você perceba que isso é uma EDO separável, ou seja, temos a EDO na forma

Nesse caso temos

Colocar a derivada na forma em vez de

Vamos então colocar do lado esquerdo tudo aquilo que está em função de e do lado direito tudo o que está em função de

Neste passo, como jogamos o termo para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero! Lembra que não podemos ter divisão por zero? Então, essa é a razão

Então e , ou seja:

Próximo passo será integrar dos dois lados:

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

Para essa igualdade ser real vamos precisar que

Logo

Isso acontece pois está multiplicando um , e na igualdade observe que não tem nada em função de , logo . E a parte constante () vai ser igual a parte constante do outro lado da igualde (1).

Logo:

Substituindo:

Podemos agora então separar a integral em duas outras que conseguimos resolver

Substituindo na primeira equação:

Para resolver essas integrais do lado esquerdo da igualdade vou precisar que você lembre que

E

E olhando para o lado direito, vamos lembrar que para a integral da constante temos:

Onde é uma constante, que no nosso caso é o número 2.

Teremos então que

Para juntar esses dos dois vamos precisar lembrar da propriedade do

tendo

Vamos só trocar de lugar o que está negativo, pra gente não se confundir:

Aplicando a propriedade:

Agora precisamos isolar o que pode ser meio chatinho, mas vem comigo, confia que vai dar certo:

Como apareceu um , vamos aplicar a exponencial nos dois lados, assim conseguimos remover esses de dentro do ln:

Vou abrir o exponencial do lado direito da igualdade com a propriedade

Teremos então

Tirando do módulo:

Pra facilitar nossa vida, vamos substituir . Caso você não queria, tranquilo, você pode levar esse até o final da conta:

Colocando agora o em evidência

Finalmente então isolando o

Logo, a solução geral da EDO é

Nosso exercício pede para que nós calculemos o limite de uma função que ainda não sabemos quem é. Mas podemos descobrir resolvendo a EDO dada. Então vamos descobrir quem é a função e depois calcular o limite.

Pelo que conhecemos de EDO, seria excelente se esta fosse separável, não é mesmo?!

Vamos tentar escrevê-la neste formato charmoso:

Sendo:

Podemos colocar o e evidência, fincando com:

Observa que só o que fizemos foi colocar o em evidência, assim encontramos a multiplicação que precisamos pra nossa EDO separável.

Fazendo:

Pronto! Ela é separável!!

Pra resolvê-la, vamos passar pra o lado esquerdo tudo o que está em função de e para o lado direito tudo o que está em função de

Assim, temos uma função só em de um lado e outra só em do outro lado.

Agora, integramos os dois lados.

Observa que tirei o – de dentro da integral do lado direito! Isso não tem problema nenhum.

Resolvendo primeiro essa integral, temos

Isso é simplesmente um polinômio, e a integral do polinômio nos é dada por

No nosso caso , logo

Para a integral do lado esquerdo vou precisar que você se lembre da integral de

Então pra nossa integral teremos

Com as contas todas feitas podemos voltar a igualdade que tínhamos

Podemos juntar essas duas constantes e chamamos apenas de .