Exercícios de Modelagem de EDOs - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração é dada por , onde é a velocidade e é uma constante.
- Use a relação para escrever a equação de movimento em função de e de .
- Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m = 0,6096 km) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h (cerca de 24,1 km/h), determine o valor de
- Encontre o tempo necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.
Questão 2
Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:
i) Se encontre (ou estime) o instante no qual a população dobra.
Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.
ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?
Ver solução completaQuestão 3
Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras opções
Ver solução completaQuestão 4
Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.
Ver solução completaQuestão 5
Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a e é levada para uma sala onde a temperatura é de . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :
Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.
Ver solução completaQuestão 6
Dois compostos químicos e são combinados para formar um terceiro composto . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de e não convertida em .
Inicialmente há 40 gramas de e 50 gramas de , e para cada grama de 2 gramas de são usados. É observado que 10 gramas de são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de e depois de um longo período de tempo?
Ver solução completaQuestão 7
Uma cultura de bactérias começa com bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após horas existem bactérias na amostra. Em horas serão:
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
Questão 8
A reta tangente ao gráfico de , no ponto , intercepta o eixo no ponto de ordenada . Determine sabendo que .
Ver solução completaQuestão 9
A taxa com que o vírus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo II, em uma sala com 60 alunos, haviam 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja o número de pessoas gripadas após minutos e . O modelo matemático que melhor representa este problema é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaQuestão 10
Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.
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