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Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.136, exercício 12b.

Determine r ( t ) sabendo que

r ' t = s e n   t , c o s   2 t   , 1 t + 1 ,   t ≥ 0

r 0 = ( 1 , - 1,2 )

Passo 1

Beleza, galera, esse é mais um exercício de funções vetoriais. Nesse exercício, o enunciado está nos informando quanto vale a derivada da função r ' t . Ele quer saber qual é a função r t que é derivada para dar r ' t . Ou seja, ele quer fazer o caminho inverso da derivada!

O caminho inverso da derivada é a integral! Logo, para achar r t integramos r ' t .

r t = ∫ r ' t d t

Precisamos integrar o r ' t que nós já conhecemos, mas ele é uma função vetorial! Como podemos integrar uma função vetorial?

Para integrar uma função vetorial, temos que integrar cada componente dessa função!

Ou seja, para integrar r ' t , fazemos:

r t = ∫ r ' t d t = ∫ sen ⁡ t   d t ,   ∫ cos ⁡ 2 t   d t ,   ∫ 1 t + 1   d t

Para integrar cada componente de r ' t vamos precisar usar o r 0 que o enunciado nos deu!

Esse r 0 é o valor da função r t quando t = 0 ! Mas não se preocupe com ele agora. Vamos aprender a usar esse r 0 , quando a gente começar a integrar cada componente no próximo passo!

Passo 2

Vamos calcular a integral de cada componente de r ' t em passos diferentes.

Nesse passo, vamos integrar a primeira componente de r ' t que é sen ⁡ t . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da primeira componente de X t .

Então, precisamos saber quanto vale:

X t = ∫ sen ⁡ t   d t    

A integral sen ⁡ t aparece tantas vezes em integrais que o valor dessa integral pode ser obtido por tabelas de integração. Se você consultar uma tabela dessas, verá que a integral de sen ⁡ t é igual a:

X t = ∫ sen ⁡ t   d t = - cos ⁡ t + C 1

O C 1 é a constante de integração que sempre precisamos colocar!

Para achar quanto vale essa constante C 1 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A primeira componente de r 0 é o valor de X t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 ⏞ X t = 0 , - 1,2 )

X t = 0 = 1

Logo, podemos achar o valor de C 1 , substituindo t por 0 na integral que achamos.

X t = 0 = - cos ⁡ 0 + C 1

Lembrando que cos ⁡ 0 vale 1 e que X t = 0 é igual a 1 , conseguimos achar C 1 .

1 = - 1 + C 1

C 1 = 2

Substituindo esse valor de C 1 na integral X t , achamos:

X t = - cos ⁡ t + C 1 = - cos ⁡ t + 2

Passo 3

Nesse passo, vamos integrar a segunda componente de r ' t que é cos ⁡ 2 t . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da segunda componente de Y t .

Então, precisamos saber quanto vale:

Y t = ∫ cos ⁡ 2 t   d t

Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de cos ⁡ t . O fato dessa integral se parecer com uma integral de função mais fácil é um indício de que precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.

Nesse método, criamos uma variável nova u que vale:

u = 2 t

Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos 2 t por u .

∫ cos ⁡ 2 t   d t = ∫ cos ⁡ u   d t

No entanto, ainda tem um d t nessa integral. Para integrar, precisamos substituir d t por d u .

Para achar quanto vale esse d u e fazer essa substituição, terivamos u em relação a t !

d u d t = d 2 t d t

Como a constante não interfere na derivada, podemos colocar a constante 2 para fora da derivada. Dessa forma, ficamos com uma derivada de t sozinho. Quando t está sozinho, a derivada dele vale 1 !

d u d t = d 2 t d t = 2 d t d t = 2 ⋅ 1 = 2

Resumindo, a derivada vale 2 .

d u d t = 2

Passando d t para o lado direito e o número 2 para o lado esquerdo, achamos:

d u 2 = d t

Substituindo isso na integral, fica:

∫ cos ⁡ u   d t = ∫ cos ⁡ u d u 2 = ∫ 1 2 cos ⁡ u d u

Lembrando que constantes não interferem na integral, podemos tirar a fração 1 2 de dentro da integral.

∫ 1 2 cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

A integral de cos ⁡ u também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:

1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u + C 2

C 2 é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!

Agora, precisamos fazer u virar 2 t novamente.

1 2 sen ⁡ u + C 2 = 1 2 sen ⁡ 2 t + C 2

Acharemos quanto vale C 2 no próximo passo!

Passo 4

Para achar quanto vale essa constante C 2 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A segunda componente de r 0 é o valor de Y t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 , - 1 ⏞ Y t = 0 , 2 )

Y t = 0 = - 1

Logo, podemos achar o valor de C 2 , substituindo t por 0 na integral que achamos.

Y t = 0 =

= 1 2 sen ⁡ 2 ⋅ 0 + C 2

= 1 2 sen ⁡ 0 + C 2

Lembrando que sen ⁡ 0 vale 0 e que Y t = 0 é igual a - 1 , conseguimos achar C 2 .

- 1 = 1 2 ⋅ 0 + C 2

- 1 = 0 + C 2

C 1 = - 1

Substituindo esse valor de C 2 na integral Y t , achamos:

Y t = 1 2 sen ⁡ 2 t + C 2 = 1 2 sen ⁡ 2 t - 1

Passo 5

Nesse passo, vamos integrar a terceira componente de r ' t que é 1 t + 1 . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da terceira componente de Z t .

Então, precisamos saber quanto vale:

Z t = ∫ 1 t + 1   d t

Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de 1 t . Como essa integral se parece com uma integral de uma função mais fácil precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.

Nesse método, criamos uma variável nova u que vale:

u = t + 1

Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos t + 1 por u .

∫ 1 t + 1   d t = ∫ 1 u   d t

No entanto, ainda tem um d t nessa integral. Para integrar, precisamos substituir d t por d u .

Para achar quanto vale esse d u e fazer essa substituição, terivamos u em relação a t !

d u d t = d d t t + 1

Quando temos uma derivada com somas, podemos derivar cada termo separadamente.

d u d t = d d t t + 1 = d d t t + d d t 1

Derivada de constante vale zero. Logo, a derivada de 1 vale 0 .

Além disso a derivada de t está sozinho vale 1 !

d u d t = d d t t + d d t 1 = 1 + 0 = 1

Resumindo, a derivada vale 1 .

d u d t = 1

Passando d t para o lado direito, achamos:

d u = d t

Substituindo isso na integral, fica:

∫ 1 u   d t = ∫ 1 u   d u

A integral de 1 u também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C 3

C 3 é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!

Agora, precisamos fazer u virar t + 1 novamente.

ln ⁡ u + C 3 = ln ⁡ t + 1 + C 3

Acharemos quanto vale C 3 no próximo passo!

Passo 6

Para achar quanto vale essa constante C 3 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A terceira componente de r 0 é o valor de Z t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 , - 1 , 2 ⏞ Z t = 0 )

Z t = 0 = 2

Logo, podemos achar o valor de C 3 , substituindo t por 0 na integral que achamos.

Z t = 0 =

= ln ⁡ 0 + 1 + C 3

= ln ⁡ 1 + C 3

Lembrando que ln ⁡ 1 vale 0 e que Z t = 0 é igual a 2 , conseguimos achar C 3 .

2 = 0 + C 3

C 3 = 2

Substituindo esse valor de C 3 na integral Z t , achamos:

Z t = ln ⁡ t + 1 + C 3 = ln ⁡ t + 1 + 2

Conseguimos achar as integrais de todas as componentes! Uhulll! Mas calma!

Agora só falta organizar os resultados que a gente encontrou!

A integral do primeiro componente de r ' t é o primeiro componente de r t . A integral do segundo componente de r ' t é o segundo componente de r t e a integral do terceiro componente de r ' t é o terceiro componente de r t .

r t = - c o s   t + 2   , 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 , ln ⁡ t + 1   + 2  

Pronto! Encerramos por aqui! Parabéns para a gente!

Resposta

r t = - c o s   t + 2   , 1 2 sen ⁡ 2 t - 1 , ln ⁡ t + 1   + 2  

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p 33 – exercício 1 letra d

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Como vai, galera! Prontos para mais um exercício de funções vetoriais?

O enunciado quer que a gente calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula. Isso é a mesma coisa que pedir para calcular o comprimento de arco L da função vetorial σ t abaixo.

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3

Existe uma fórmulazinha que podemos usar para calcular esse comprimento de arco L . No entanto, antes de mostrar essa fórmula, vamos dar um nome para cada componente da função vetorial! Isso vai facilitar a aplicação da fórmula.

Vamos chamar a primeira componente da função vetorial σ t de x t .

x t = t

A segunda componente de σ t pode ser chamada de y t .

y t = 3 t 2

Por fim, a terceira componente de σ t pode ser chamada de z t .

z t = 6 t 3

Agora que demos nomes a todas as componentes, fica tranquilo de escrever a fórmula do comprimento de arco L .

L = ∫ t 0 t f x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2   d t

Nessa fórmula, x ' t é a derivada de x t , y ' t é a derivada de y t e z ' t é a derivada de z t . E o que são esse t f em cima da integral e esse t 0 embaixo da integral?

Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas x ' t , y ' t e z ' t .

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as derivadas x ' t , y ' t e z ' t .

Vamos começar por x ' t .

x ' t = t '

A derivada de uma variável que está sozinha vale 1 . Logo:

x ' t = t ' = 1

Agora podemos partir para o cálculo de y ' t .

y ' t = 3 t 2 '

Para calcular essa derivada, precisamos lembrar que a constante não interfere na derivada e, por isso, pode ser tirada de dentro da derivada!

y ' t = 3 t 2 '

Restou a gente derivar o t 2 . Como o t 2 é uma potência de t , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 2 (que no caso vale 2 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 2 - 1 = 1 ).

y ' t = 3 t 2 ' = 3 ⋅ 2 ⋅ t 1 = 6 t

Por fim, temos que calcular z ' t .

z ' t = 6 t 3 '

Lembrando que a constante não interfere na derivada, podemos tirar 6 de dentro da derivada!

z ' t = 6 t 3 ' = 6 t 3 '

Restou a gente derivar o t 3 . Como o t 3 é uma potência de t , podemos usar a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 3 (que no caso vale 3 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 3 - 1 = 2 ).

z ' t = 6 t 3 ' = 6 ⋅ 3 ⋅ t 2 = 18 t 2

Pronto, temos todas as derivadas.

No próximo passo vamos substituir todas as derivadas na fórmula de L !

Passo 3

Sem enrolação! Vamos substituir logo as derivadas x ' t , y ' t e z ' t na fórmula de L .

L = ∫ t 0 t f x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2   d t

L = ∫ t 0 t f 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2   d t

Sempre que temos dois números sendo elevados ao mesmo tempo, podemos transformar essa conta em dois números sendo elevados separadamente.

L = ∫ t 0 t f 1 + 6 2 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

L = ∫ t 0 t f 1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

Finalmente podemos integrar e achar L , certo?

Não! Temos que encontrar quanto valem os limites de integração t f e t 0 primeiro!

Passo 4

Os valores de t f e t 0 estão escondidos na pergunta da questão no intervalo de t que o enunciado mostrou! Olha só:

0 ⏟ t 0 ≤ t ≤ 2 ⏟ t f

Logo:

t 0 = 0

t f = 2

Ah, agora simmm podemos calcular a integral, não é mesmo?

Não de novo! Olha a pressa!

Essa integral é muito difícil de ser calculada do jeito que está! Temos que simplificar ela ainda!

Para isso, temos que perceber que o termo que está dentro da raiz se parece com um produto notável chamado de quadrado perfeito.

q u a d r a d o   p e r f e i t o   →   a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

t e r m o   d e   d e n t r o   d a   r a i z   →   1 ⏟ a 2 + 36 ⋅ t 2 ⏟ 2 a b + 18 t 2 2 ⏟ b 2

Se a gente comparar termo a termo, veremos que, no nosso caso:

a = 1

b = 18 t 2

Por causa disso, podemos reescrever a parte de dentro da raiz. Como a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2 :

1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2 = 1 + 18 t 2 2

Substituindo isso na integral, achamos:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 36 ⋅ t 2 + 18 t 2 2   d t

= ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2   d t

No entanto, calcular a raiz quadrada é mesma coisa que elevar por 1 2 . Logo:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2 1 2   d t

Quando um número está sendo elevado duas vezes, podemos multiplicar seus dois expoentes. Por isso:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 2 ⋅ 1 2   d t

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2 1   d t

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2   d t

Pronto! Agora sim podemos calcular a integral!

Passo 5

Sempre que uma integral tem várias somas como essa, podemos quebrar ela em integrais menores:

L = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 + 18 t 2   d t

= ∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + ∫ t 0 = 0 t f = 2 1 8 t 2   d t

Além disso, precisamos lembrar que a constante não interfere na integral e, por isso, podemos colocar ela pra fora!

∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + ∫ t 0 = 0 t f = 2 18 t 2   d t = ∫ t 0 = 0 t f = 2 1   d t + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

Quando temos que integrar uma constante que está sozinha na integral, damos um t para fazer companhia a ela!

L = t 0 2 + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

Para integrar o t elevado a algum número, usamos a regra abaixo.

∫ t n d x = t n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do t na integral. Nesse caso, n vale 2 .

Aplicando a nossa regrinha na nossa integral de t 2 , encontramos:

L = t 0 2 + 18 ∫ t 0 = 0 t f = 2 t 2   d t

= t 0 2 + 18 t 2 + 1 2 + 1 0 2

= t 0 2 + 18 t 3 3 0 2

Os limites de integração 2 e 0 estão presentes para lembrar que ainda precisamos usá-los de alguma forma.

Então vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 6

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o t pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os t ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o t pelo limite de cima (pelo 2 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 0 ). A regra de troca do t é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

L = t 0 2 + 18 t 3 3 0 2

L = 2 - 0 + 18 ⋅ 2 3 3 - 0 3 3

L = 2 + 18 ⋅ 2 3 3

Lembrando que 2 3 vale 8 e que 18 3 é igual a 6 :

L = 2 + 6 ⋅ 8

L = 2 + 48 = 50

Isso quer dizer que o comprimento do caminho percorrido por uma partícula vale 50 !

Aeee! Mais um exercício pra conta!

Resposta

L = 50

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.33. questão 2.

Uma curva tem equação y 2 = x ³ . Encontre o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) .

Passo 1

Belezinha, gente? Confiantes para mais um exercício de função vetorial?

Quando o enunciado pede para a gente calcular o comprimento da curva entre dois pontos, ele está pedindo para a gente calcular o comprimento de arco L de uma função vetorial.

Mas onde está a função vetorial? O enunciado só nos deu a equação abaixo...

y 2 = x ³

Essa não é uma função vetorial! Como dependemos de uma função vetorial para calcular o comprimento de arco L , precisamos transformar a equação acima em uma função vetorial!

A gente faz isso, criando uma nova variável t e reescrevendo x e y em função dessa nova variável! Por exemplo, podemos supor que y é igual a t .

y = t

Podemos agora substituir essa equação de y na fórmula de x que o enunciado nos deu.

t 2 = x 3

Elevando os dois lados a 1 3 , achamos:

t 2 1 3 = x 3 1 3

Quando temos um número sendo elevado várias vezes, podemos multiplicar todos os seus expoentes.

t 2 ⋅ 1 3 = x 3 ⋅ 1 3

t 2 3 = x 1

x = t 2 3

Por último, para finalizar a criação de uma função vetorial que vamos chamar de r t , vamos considerar que o x é o primeiro componente da função vetorial r t e que o y é o segundo componente da função vetorial r t . Logo:

r t = x , y = t 2 3 , t

Criamos a função vetorial. Com ela, conseguimos calcular o comprimento de arco L através de uma fórmula.

Essa fórmula será mostrada no próximo passo.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco L é:

L = ∫ t 0 t f x ' 2 + y ' 2   d t

Nessa fórmula, x ' é a derivada de x e y ' é a derivada de y .

E o que são esse t f em cima da integral e esse t 0 embaixo da integral?

Eles são os limites de integração da integral. Relaxa, porque só vamos nos preocupar com eles mais tarde! Por enquanto, vamos calcular as derivadas x ' e y ' . Vamos começar calculando x ' !

x ' = t 2 3 '

Como o t 2 3 é uma potência de t , derivamos ele usando a regra do peteleco. Nessa regra, damos um peteleco no expoente de t 2 3 (que no caso vale 2 3 ). Isso faz o expoente cair na frente de t . Esse expoente deixa pra trás um expoente menor que vale ele mesmo menos 1 (no caso, esse expoente menor vale 2 3 - 1 ).

x ' = t 2 3 ' = 2 3 ⋅ t 2 3 - 1 = 2 3 ⋅ t 2 3 - 3 3 = 2 3 ⋅ t - 1 3

Já achamos quanto vale a derivada de x . Vamos partir para o cálculo da derivada de y ! Para isso, temos que lembrar que t é igual a t 1 .

y ' = t ' = t 1 '

t 1 também é uma potência de t . Por isso, usamos a regra do peteleco nele também! Nesse caso, o expoente que cai vale 1 e o expoente menor que deixado pra trás vale 1 - 1 = 0 .

y ' = t ' = 1 ⋅ t 0 = 1 ⋅ 1 = 1

Substituindo essas derivadas na fórmula de L , descobrimos a integral que precisamos calcular para achar L .

L = ∫ t 0 t f x ' 2 + y ' 2   d t

L = ∫ t 0 t f 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1 2   d t

L = ∫ t 0 t f 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

Faltam duas coisas para a gente poder integral essa função. A primeira delas é achar o valor de t 0 e t f . A segunda delas é simplificar a integral.

Primeiro, vamos descobrir os valores de t 0 e t f no próximo passo!

Passo 3

O enunciado pede para a gente calcular o comprimento L de uma curva que vai do ponto 1 , - 1 até o ponto 1,1 . Para consegui calcular t 0 e t f , a gente tem que entender o que significam esses dois número dos pontos.

O primeiro número é o valor de x do ponto e o segundo é o valor de y do ponto.

P o n t o   1 , - 1       ⟹       x = 1   e   y = - 1 P o n t o   1,1       ⟹       x = 1   e   y = 1

Agora, vamos chamar o ponto 1 , - 1 de ponto 0 e o ponto 1,1 de ponto f .

No ponto 0 , t vale t 0 . No ponto f , t vale t f .

P o n t o   0       ⟹       t = t 0 P o n t o   f       ⟹       t = t f

Agora, vamos calcular quanto vale o t no ponto 0 usando a fórmula de y abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto 0 , t = t 0 e que y = - 1 .

y = t

- 1 = t 0

t 0 = - 1

Falta ainda calcular quanto vale o t no ponto f usando a fórmula de y abaixo. Antes, temos que lembrar que, no ponto f , t = t f e que y = 1 .

y = t

1 = t f

t f = 1

Substituindo t 0 e t f na integral, ela vira:

L = ∫ - 1 1 2 3 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

No próximo passo nós vamos simplificar essa integral.

Passo 4

Para simplificar a integral, vamos mexer dentro da raiz da raiz quadrada. Para isso, temos que lembrar que, quando temos dois números sendo elevados juntos, podemos fazer eles se elevarem separadamente.

L = ∫ - 1 1 2 3 2 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 1 3 2 + 1   d t

Além disso, quando um número está sendo elevado por mais de um expoente, podemos multiplicar os expoentes.

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 1 3 ⋅ 2 + 1   d t

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ t - 2 3 + 1   d t

Quando o expoente de um número é negativo, podemos inverter o número!

L = ∫ - 1 1 4 9 ⋅ 1 t 2 3 + 1   d t

Multiplicando os numeradores e denominadores da fração, achamos:

L = ∫ - 1 1 4 9 t 2 3 + 1   d t

Para somar a fração que tem dentro da raiz com o número 1 que tem dentro da raiz, temos que colocar os dois no mesmo denominador. Fazemos isso, multiplicando e dividindo o número 1 por 9 t 2 3 .

L = ∫ - 1 1 4 9 t 2 3 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t

Podemos transformar a raiz de uma fração na raiz da parte de cima dividida pela raiz da parte debaixo.

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   9 t 2 3   d t

Podemos calcular a raiz de dois termos que estão juntos, calculando a raiz de cada termo separadamente.

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   9 ⋅ t 2 3   d t

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 2 3   d t

Elevar um número a 2 3 é a mesma coisa que elevar o número a 1 3 e depois elevar esse mesmo número a 2 .

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3 2   d t

Elevar um número ao quadrado e depois tirar a raiz dele, é a mesma coisa que calcular o módulo desse número!

O módulo é representado por duas barrinhas na lateral .

L = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Quando termo que está dentro do módulo é negativo, o módulo multiplica esse termo por - 1 .

Se o termo que estiver dentro do módulo for maior ou igual a zero, o módulo não faz esse termo mudar!

t 1 / 3 é negativo, quando o t varia de - 1 a 0 . No entanto, t 1 / 3 é positivo, quando o t varia de 0 a 1 .

Q u a n d o   t 1 / 3 < 0       ⟹       t 1 3 = - 1 ⋅ t 1 / 3

Q u a n d o   t 1 / 3 > 0       ⟹       t 1 3 = t 1 / 3

Como o módulo se comporta diferente dependendo do valor de t , vamos precisar separar a integral em duas. A integral de - 1 a 0 fará a integração em valores negativos de t e a integral de 0 a 1 fará a integração em valores positivos de t .

L = ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

O módulo vai multiplicar t 1 / 3 por - 1 , quando a integral for de - 1 a 0 e vai manter t 1 / 3 igual, quando a integral for de 0 a 1 .

L = ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ - 1 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Podemos colocar esse sinal de menos do denominador para fora da integral.

L = - ∫ - 1 0 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3   3 ⋅ t 1 3   d t

Enfim, chegamos em uma integral que podemos calcular!

Tá achando muito difícil calcular essa integral?

Então vamos descobrir como se faz essa integral nos próximos passos!

Passo 5

Essa integral provavelmente te assusta por causa do 4 + 9 t 2 3 dentro da raiz quadrada, estou certo?

Se o que atrapalha a gente é esse 4 + 9 t 2 3 , porque não tentamos nos livrar dele?

Podemos fazer isso, criando uma nova variável u que deve ficar no lugar de 4 + 9 t 2 3 .

u = 4 + 9 t 2 3

Chamamos essa técnica de criar uma nova variável para substituir um termo complexo da integral de substituição simples! Ela é uma das técnicas de integração mais importantes!

Sempre que a gente ver uma integral difícil, a gente pode tentar simplificar com essa técnica!

Se a gente substituir 4 + 9 t 2 3 por esse u , a integral vai ficar:

L = - ∫ - 1 0 u   3 ⋅ t 1 3   d t + ∫ 0 1 u   3 ⋅ t 1 3   d t

L = - ∫ - 1 0 u   3   d t t 1 3 + ∫ 0 1 u   3 d t t 1 3

A cara dela já está melhorzinha, né? Mas ainda não resolvemos nosso problema! Agora temos duas variáveis na integral! Para a gente conseguir integrar, a integral só pode ter uma variável!

No próximo passo a gente vai descobrir como substituir t e d t por u e d u .

Passo 6

Para nos livrar do t da integral, temos que substituir o t pelo u e o d t pelo d t . Mas quanto vale o d u ?

Para descobrir quanto vale d u , a gente precisa derivar o u !

d u d t = d d t 4 + 9 t 2 3

O primeiro passo para derivar esse cara é lembrar que podemos separar a derivada grande em derivadas menores e que podemos tirar as constante de dentro da derivada.

d u d t = d d t 4 + 9 ⋅ d d t t 2 3

Em segundo lugar, temos que nos lembrar que a derivada de uma constante vale zero. Logo, a derivada de 4 vale zero!

d u d t = d d t 4 + 9 ⋅ d d t t 2 3 = 0 + 9 ⋅ d d t t 2 3

Em último lugar, derivamos t 2 3 usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente 2 3 cai na frente de t e deixa pra trás um expoente menor que vale 2 3 - 1 .

Para fazer a conta de 2 3 - 1 , temos que colocar 1 no mesmo denominador que 2 3 . Fazemos isso multiplicando e dividindo o número 1 por 3 .

d u d t = 9 ⋅ d d t t 2 3

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t 2 3 - 1

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t 2 3 - 3 3

= 9 ⋅ 2 3 ⋅ t - 1 3

Multiplicando 9 por 2 e dividindo o resultado por 3 , achamos 6 !

d u d t = 6 ⋅ t - 1 3

Como o expoente de t é negativo, podemos inverter t para tornar o expoente positivo.

d u d t = 6 ⋅ 1 t 1 3

Se a gente passar o d t para o lado direito e o número 6 para o lado esquerdo da equação, ela fica:

d u 6 = d t t 1 3

Isso significa que a gente pode substituir o d t t 1 3 da integral pelo d u 6 .

L = - ∫ - 1 0 u   3   d t t 1 3 + ∫ 0 1 u   3 d t t 1 3

L = - ∫ - 1 0 u   3   d u 6 + ∫ 0 1 u   3 d t 6

Podemos multiplicar os denominadores 3 e 6 . Isso faz aparecer o 18 no denominador

L = - ∫ - 1 0 u   d u 18 + ∫ 0 1 u d t 18

Dividir por 18 é a mesma coisa que multiplicar por 1 18 . Por isso, podemos transformar o 18 que está dividindo o d u por 1 18 .

L = - ∫ - 1 0 1 18 u   d u + ∫ 0 1 1 18 u   d u

Agora vamos integrar!

Ainda falta um último passo para ela ficar pronta para ser integrada!

Esses limites de integração 1 , 0 e - 1 estavam corretos, quando a integral era de t ! Agora que a integral é de u , eles precisam ser atualizados.

Passo 7

Agora nós vamos aprender a atualizar os limites de integração!

Nós ainda não vamos descobrir o que precisamos fazer com esses limites de integração, mas precisamos muda-los, já que eles só serviam pra integrais de t !

Para atualizar esses limites, temos que usar a equação de u !

u = 4 + 9 t 2 3

Para a gente achar o novo limite de integração que valia 1 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo 1 .

u = 4 + 9 ⋅ 1 2 = 4 + 9 = 13

Ou seja, o novo limite de integração que valia 1 passa a valer 13 .

Para a gente achar o novo limite de integração que valia - 1 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo - 1 .

u = 4 + 9 ⋅ - 1 2 = 4 + 9 = 13

Ou seja, o novo limite de integração que valia - 1 passa a valer 13 .

Para a gente achar o novo limite de integração que valia 0 , temos que substituir o t por pelo limite de integração antigo 0 .

u = 4 + 9 ⋅ 0 2 = 4 + 0 = 4

Ou seja, o novo limite de integração que valia 0 passa a valer 4 .

L = - ∫ 13 4 1 18 u   d u + ∫ 4 1 3 1 18 u   d u

Podemos inverter os limites de integração da primeira integral, se a gente tirar o sinal de menos da frente da integral.

L = ∫ 4 13 1 18 u   d u + ∫ 4 13 1 18 u   d u

L = 2 ∫ 4 13 1 18 u   d u

Agora sim estamos prontos para integrar!

Passo 8

Primeiro, temos que lembrar que a constante não interfere na integral! Logo, ela pode ser tirada da integral!

2 ⋅ ∫ 4 13 1 18 u d u = 2 18 ∫ 4 13 u d u

Depois, precisamos lembrar que calcular a raiz quadrada de um número é a mesma coisa que elevar o número a 1 2 . Ou seja, x é igual a x 1 / 2 .

2 18 ∫ 4 13 u d u = 2 18 ∫ 4 13 u 1 / 2 d u

Agora está claro que precisamos integrar uma potência de u .

Pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de u . A regrinha é: soma 1 no expoente n e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ u n   d x = u n + 1 n + 1

Para usar essa regra, nós temos que lembrar que o expoente n de u 1 / 2 vale 1 2 .

Logo, n + 1 vale:

n + 1 = 1 2 + 1 = 1 2 + 1 ⋅ 2 2 = 3 2

Aplicando essa regra, achamos:

2 18 ∫ 4 13 u 1 2 d u = 2 18 u 3 2 3 2 4 13

Dividir por 3 2 é a mesma coisa que multiplicar por 2 3 . Logo:

2 18 u 3 2 3 2 4 13 = 2 18 2 3 u 3 2 4 13

Só falta descobrir como usar os limites de integração para resolver tudo! Isso será feito no outro passo!

Passo 9

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o u pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os u ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o u pelo limite de cima (pelo 13 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 4 ). A regra de troca do u é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

2 18 2 3 u 3 2 4 13 = 2 18 2 3 13 3 2 - 2 3 4 3 2

Para descobrir quanto vale 13 3 2 e 4 3 2 , precisamos o que significa um expoente que é uma fração. A parte debaixo de uma fração indica o índice de uma raiz. Por exemplo, se a parte debaixo da fração vale 2 , a raiz é uma raiz quadrada. A parte de cima da fração mostra por quanto estamos elevando a raiz! Se essa parte de cima vale 3 , estamos elevando a raiz por 3 .

13 3 2 = 13 3 = 13 ⋅ 13 ⋅ 13 = 13 13

4 3 2 = 4 3 = 2 3 = 8

Substituindo esses valores na equação da integral, achamos:

2 18 2 3 13 3 2 - 2 3 4 3 2 = 2 18 2 3 ⋅ 13 13 - 2 3 ⋅ 8

Podemos ver que o 2 3 aparece junto do 13 13 e do 8 . Quando isso acontece, podemos tirar o número 2 3 de dentro do parênteses.

2 18 2 3 ⋅ 13 13 - 2 3 ⋅ 8 = 2 18 ⋅ 2 3 ⋅ 13 13 - 8

O número 2 aparece em cima da fração pode cortar com o núemro 18 que aparece embaixo da fração! Dessa forma, o 18 vai virar 9 .

1 9 ⋅ 2 3 ⋅ 13 13 - 8

Multiplicando o 9 pelo 3 , achamos o número 27   no denominador. Logo:

2 27 ⋅ 13 13 - 8

Isso quer dizer que o comprimento L da curva vale:

L = 2 27 ⋅ 13 13 - 8

Resposta

L = 2 27 13 13 - 8

Exercício Resolvido #4

Adaptada

Calcule a derivada da seguinte função vetorial:

r t = s e n - 1 t i - 1 - t 2   j + k

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = x ' t i + y ' t j + z ' t k

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = s e n - 1 t i - 1 - t 2   j + k

Lembrando que a função s e n - 1 ( t ) não é seno elevado a - 1 . É a função a r c s e n , que em inglês é chamada de s e n - 1 . E sua derivada é:

d d t s e n - 1 t = 1 1 - t 2

Relembrando a regra da cadeia:

d d x f g x = f ' g x g ' ( x )

Então:

r t = d s e n - 1 ( t ) d t i + d 1 - x 2 d t j + d 1 d t k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j + 0 k

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j

Resposta

r ' t = 1 1 - t 2 i - t 1 - t 2 j

Exercício Resolvido #5

Origem do Exercício

Calcule a velocidade da curva r t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t , t 2 ) , indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t = π / 4   .

(a) ( - 2,2 , π / 4   )

(b) ( 2 2 , 2 2 , π 4 )

(c) ( - 2 2 , 2 2 , π 2 )

(d) ( - 2 2 , - 2 2 , π 4 )

(e) ( 2 2 , 2 2 , π 2 )

Passo 1

“Velocidade da curva” pode parecer um termo estranho de início, mas tente pensar assim: se o r ( t ) é a posição de uma partícula qualquer em função do tempo, então como a gente pode associar uma velocidade a isso?

Exatamente, temos que derivar a posição em relação ao tempo!

v t = d d t r ( t )

Passo 2

Beleza, vamos derivar a função que o enunciado deu. Lembre-se sempre de que para derivar um vetor, a gente deriva cada uma das componentes, então:

d d t r t = ( d d t cos ⁡ t , d d t sen ⁡ t , d d t t 2 )

Ok, nem precisamos usar regra da cadeia ou coisa do tipo, todas as derivadas são bastante tranquilas:

d d t r t = v t = ( - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   2 t )

Passo 3

E o enunciado pediu para consideramos a resposta em t = π 4 , então vamos substituir na fórmula que acabamos de achar:

v π 4 = V = - sen ⁡ π 4 , cos ⁡ π 4 ,   2 π 4

Bom, você deve lembrar que:

π 4   r a d = 180 4 ° = 45 °

E que o seno e o cosseno desse ângulo são iguais a 2 / 2 :

V = - 2 2 , 2 2 , π 2

Pronto, essa é a resposta!

Resposta

Letra (c). V = - 2 2 , 2 2 , π 2 .

Exercício Resolvido #6

Origem do Exercício

O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r → t = t 3 i + t 2 j .

Determine a velocidade do objeto no instante t = 1 .

Passo 1

Quando temos a função que dá a posição de uma partícula, como podemos achar a velocidade? É só derivar a posição!

d d t r → t = v → t

Lembrando que para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes:

d d t t 3 = 3 t 2

d d t t 2 = 2 t

Ou seja:

v → t = ( 3 t 2 , 2 t )

Passo 2

Depois disso, é só substituir t = 1 para calcular a velocidade nesse instante:

v → 1 = ( 3 1 2 , 2 ( 1 ) )

v → 1 = 3,2 = 3   i + 2   j

Resposta

A velocidade do objeto no instante t = 1 é v → t = 3 i + 2 j .

Exercício Resolvido #7

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.11. questão 1, itens a,c,f.

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:

a) x = - 1 + t , y = 2 - t , t ∈ R

c) x = c o s ² t , y = s e n ² t , t ∈ R

f) x = s e n   t , y = c o s 2 t , t ∈ 0 , π 2

Passo 1

a )

Podemos isolar o parâmetro t na primeira equação e substituir na segunda, assim:

t = x + 1

y = 2 - x + 1 = 2 - x - 1 = 1 - x

Temos a reta y = 1 - x

Passo 2

Verificar intervalo para a curva da letra a:

t ∈ R

x = - 1 + t não tem nenhuma limitação. Assim, x ∈ R .

Passo 3

Avaliar o sentido percorrido na curva da letra a: nós temos que ver se a derivada vai ser positiva ou negativa. Positiva, a função está crescendo. Negativa, a função está decrescendo.

Podemos observar que

y ' t = - 1 < 0

Logo, a curva está “descendo”.

Passo 4

Esboçar a curva da letra a:

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ e, nesse caso, nossa reta não tem nenhuma limitação. Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto - 1,2 que eu marquei ai.

Passo 5

c )

Na letra c, vamos usar a relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Assim, observamos que

x + y = 1

Logo, também temos a reta y = 1 - x .

Passo 6

Verificar o intervalo para a curva da letra c:

t ∈ R

x = c o s ² t é uma função limitada, está sempre entre 0 e 1. Assim, x ∈ [ 0,1 ] e y ∈ [ 0,1 ] .

Passo 7

Avaliar o sentido percorrido pela curva da letra c:

Podemos observar que

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Mas

0 ≤ x t = c o s 2 t ≤ 1

0 ≤ y t = s e n 2 t ≤ 1

Logo

t ∈ 0 , π 2

E nesse intervalo, tanto o seno como o cosseno são positivos, então

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t > 0

Como o ponto inicial, ou seja, em t = 0 vai ser

x 0 , y 0 = c o s 2 0 , s e n 2 0 = 1,0

A curva começa em 1,0 e o valor de y vai aumentar.

Então ela está “subindo”.

Passo 8

Esboçar a curva da letra c

Passo 9

Na letra f pelo enunciado temos

y = cos ⁡ 2 t

E ele deu que

x = sen ⁡ t

Então queremos achar uma relação de cos ⁡ 2 t e sen ⁡ t

2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Lembrando das relações trigonométricas

c o s 2 t = 2 c o s 2 t - 1

E

c o s 2 t = 1 - s e n 2 t

Podemos usá-las para achar a função de x e y

y = cos ⁡ 2 t = 2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Mas

x = sen ⁡ t

Então

y = 2 1 - s e n 2 t - 1 = 2 1 - x 2 - 1

y = 2 - 2 x 2 - 1 = 1 - 2 x ²

Temos a parábola

y = 1 - 2 x ²

Passo 10

Avaliar o intervalo para a curva da letra f:

t ∈ 0 , π 2

Vamos começar olhando o valor de x

x = sen ⁡ t

O seno indo de 0 a π 2 , nos diz que o valor de x vai de 0 à 1 .

Assim,

x ∈ [ 0,1 ]

Passo 11

Vamos olhar o y agora

y = cos ⁡ 2 t

Se

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que o y vai de - 1 à 1

y ∈ [ - 1,1 ]

Passo 12

A nossa curva vai ser

Passo 13

Vamos avaliar como varia essa função.

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

Como

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que

sen ⁡ 2 t > 0

Assim

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t < 0

E o valor de y vai estar diminuindo.

A curva vai começar em

x 0 , y 0 = sen ⁡ 0 , cos ⁡ 2.0 = 0,1

Então ela está “descendo”

Resposta

a)

c)

f)

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   e t )

t ∈ R +

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Pela primeira vez você deve estar observando aqui um passo zero kkkk esse passo vai ser uma forma que vou te mostrar como esboçar essa curva sem fazer contas, mas vai ter o passo a passo bonitinho pra você em seguida caso você queira calcular.

Observa que temos

x t = cos ⁡ 2 t

y t = s e n   2 t

Sabemos então que no eixo x e y vamos ter uma circunferência. Temos ainda

z t = e t

Isso nos da que a curva vai crescer exponencialmente em z conforme varia. Ficamos antão com algo assim

O z começa crescendo aos poucos e só vai aumentando por conta do comportamento exponencial. Pegou? Mas vê agora nos próximos passos como você poderia calcular isso, caso não tivesse essa sacada quando visse a curva parametrizada.

Passo 2

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = cos ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 2 t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = 1

z t = e t

Como x 2 t + y 2 ( t ) = constante , então essa é uma helicoidal cilíndrica.

Passo 3

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = e t > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 4

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R +

Vamos calcular o ponto da trajetória correspondente a t = 0 :

σ 0 = 1,0 , 1

Passo 5

Esboçar curva:

Só uma observação: vimos que a curva tem que começar no ponto 1 ,   0 ,   1 e na imagem ela está começando na altura z = 0 . Isso porque é difícil de definir o ponto inicial da curva no programa que a gente usa pra fazer esses gráficos 3D. Enfim, só ficar atento nessa questão do ponto inicial ;)

Resposta

Obs: início no ponto 1 ,   0 ,   1

Exercício Resolvido #9

Elaboração Própria

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( t cos ⁡ t , t sen ⁡ t ,   t )

t ∈ R

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

Passo 1

Similar a questão anterior vou fazer um passo zerinho, por que aqui a gente também consegue esboçar sem fazer contas.

Observa que temos

x t = t c o s t

y t = t s e n t

z t = t

Bom, com isso a gente sabe que no plano x y nós vamos ter a circunferência pela relação entre o seno e cosseno, certo? No entanto se você for observar eu tenho t multiplicando o seno e cosseno. Isso faz com que quando t = 0   ( o u   s e j a ,   z = 0 ,   p o i s   z t = t ) nós não teremos a circunferência. Conforme o t vai crescendo, mais aumenta essa circunferência no plano x y .

Vamos ter então isso

Mas não se preocupa! Se você não pegou essa explicação, segue a explicação normal haha Isso daqui seria só pra te mostrar que a gente consegue ter uma noção analisando os termos, sem necessariamente fazer várias contas.

Passo 2

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = t cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = t 2

z 2 ( t ) = t 2

Logo:

  x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa é uma helicoidal cônica.

Passo 3

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = 1 > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 4

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ . Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto:

σ 0 = 0,0 , 0

Passo 5

Esboçar curva:

Resposta

Exercício Resolvido #10

USP, Cálculo 2, P1, 2012.2, questão 1a

Esboce a imagem da curva γ   : R → R 2 dada por

γ t = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 , sen 2 ⁡ t - 1

Passo 1

Numa parametrização, cada coordenada corresponde a uma dimensão da função no plano cartesiano. A primeira coordenada corresponde à componente x , a segunda à componente y .

Então, podemos dizer que para a curva dada:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 2

Na equação de cima, podemos colocar o 2 em evidência no lado direito, e teremos:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 1

Mas cos 2 ⁡ t - 1 = - sen 2 ⁡ t . (Lembra que cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1 ) Então, teremos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t

E ainda temos como simplificar isso! Perceba, quando tivermos algo ao quadrado, e do lado duas vezes esse algo, podemos completar quadrados somando e subtraindo o mesmo número. Fica assim:

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1

E perceba que o termos entre parêntesis vale sen 2 ⁡ t - 1 2 :

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1

E, por fim, sabemos que y = sen 2 ⁡ t - 1 . Assim, temos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1 = y 2 - 1

Ou seja, a parte de cima do sistema é y 2 - 1 , e ele fica:

x = y 2 - 1 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 3

Legal, agora que temos o x em função do y , sabemos que a parametrização   γ t está sobre a parábola x = y 2 - 1 .

Mas e quanto ao y ? Ele está em função de sen 2 ⁡ t , e essa é uma função limitada (ela nunca é menor que 0 e nem maior que 1 ). Então, a expressão para o y , dada por:

y = sen 2 ⁡ t - 1

sempre vai estar entre - 1 e 0 , pois, como disse, sen 2 ⁡ t está entre 0 e 1 (basta subtrair 1 do maior e menor valor assumido por sen 2 ⁡ t )

Passo 4

Pronto!! Agora sabemos que x = y 2 - 1 , e que y varia entre - 1 e 0 . Logo, a imagem da nossa curva parametrizada é o pedaço da parábola x = y 2 - 1 no qual os valores de y estão entre - 1 e 0 !

A parábola deitada é x = y 2 - 1 e a faixa são os valores de y . A interseção desses dois lugares, é parte da parábola que está dentro da faixa!

Resposta

Parte da parábola dentro da faixa: