Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

Fala, pessoal, prontos para iniciar nossos estudos sobre funções vetoriais?

Primeiro de tudo, nós podemos perceber que essa é uma função bem diferente! Ela é é uma função em ! Ela tem duas funções separadas por uma vírgula! A primeira (da esquerda) é uma função de e a segunda (a da direita) é uma função de .

Como essa é uma função que tem duas funções dentro dela, vamos dar um nome para cada função diferente. Vamos chamar a função de da esquerda de e a função de da direita de função .

Nós separamos a função vetorial em duas funções, mas precisamos entender o que o enunciado quer. Ele pediu para a gente determinar o domínio da função vetorial . Mas o que é o domínio?

O domínio são todos os valores de e de que não causam problemas de conta nas funções e que fazem parte da nossae .

Por exemplo, vamos ver o que acontece quando vale na função ?!

Através da equação acima, Vvemos que, quando vale , o valor da função não pode ser calculado. Isso acontece, porque gera uma divisão por zero que é impossível de ser calculada! Em outras palavras, o valorOu seja, dá problema de conta na função ! Por isso, dizemos que não pode fazer parte do domínio de ! tem que ser diferente de zero!

Com esse exemploAssim, conseguimos ver que, para saber quais os valores que e podem ter, e determinar o domínio, precisamos antes saber quais os valores eles que e não pode ter!

Então vamos procurar no próximo passo quais os outros valores que não pode ter.

Nesse passo, nós vamos procurar os outros valores que não pode ter. Para isso,P precisamos descobrir os valores de que dão problema de conta em .!

As funções que estão dentro da função vetorial sempre dão dicas de como achar esses valores!

Por exemplo, sempre que uma raiz quadrada aparece, temos que ficar atentos!

Devemos ter atenção nela, porque raiz quadrada de número negativo não existe! A raiz quadrada de número negativo não pode ser calculada no conjuto dos número reais e, portanto é um problema de conta!

Como o está dentro da raiz quadrada, ele não pode ser negativo. Isso significa que ele precisa ser maior ou igual a zero.

No entanto, já vimos que sabemos que não pode sernão pode valer zero, porque o zero também causa um erro de conta. Ou seja, tem que ser maior que zero, pois só assim ele não será igual a zero e nem negativo..

Logo, todos os valores de maiores que zero fazem parte do domínio!

Agora, vamos descobrir quais os valores que o não pode ter.

Para descobrir quais os valores que não pode ter, precisamos prestar atenção na raiz quadrada de .

A parte de dentro dessa raiz quadrada (que nesse caso é o ) não pode ser negativa, porque isso levaria a um erro de conta! Ou seja, tem que ser maior ou igual a zero.

Aqui você pode pensar, “mas ele já é negativo, porque tem esse menos ali na frente”. Mas na verdade o valor que ficará dentro da raiz vai depender do sinal do número que colocarmos no lugar do . Vamos ver um exemplo pra entender melhor isso.

Veja que se o for positivo, nossa raiz ficará negativa, o que não pode acontecer (como aconteceu quando ). Já se o for negativo, o sinal de menos na frente dele fará com que ele se torne positivo e assim não teremos nunhum erro de conta (como quando .

Então, o que precisamos é que a raiz não seja nengativa, e para isso:Se a gente passar o para o outro lado, vemos que:

Mas há outro detalhe ali. Nossa raiz está no denominado, e vimos que se ela for zero, termos uma divisão por zero. O que também não pode acontecer.

Então

E para isso precisamos que Isso significa que, para o ser maior ou igual a zero, precisa ser menor ou igual a zero.

Para saber os outros valores que não pode ter, temos sempre que prestar atenção no denominador da fração! Esse denominador nunca pode ser zero. Caso contrário, isso levaria a uma divisão por zero e a um problema de conta.

Logo, o denominador de precisa ser diferente de .

.

Para ser dizerente de , tem que ser diferente de zero. Resumindo, não pode ser positivo para não dar problema de cálculo com a raiz quadrada nem pode valer . Ou seja, só pode ser negativo (menor que zero).

Logo, todos os valores de menores que zero fazem parte do domínio!

Juntando os dois domíniosResumindo, termos o domínio da função é composto pelos valores de e pelos valores de .

Então, domínio de :

Mas calma que o exercício ainda não acabou!

Além de pedir para a gente determinar o domínio, o enunciado também pediu que a gente esboçasse o domínio.

Faremos isso agora!

Primeiro de tudo o que é esboçar o domínio?

Esboçar o domínio é a mesma coisa que pintar a região do plano cartesiano onde todos os pontos doo domínio se encontra.

O plano cartesiano é formado por duas retas: a reta e a reta .

A reta é como se fosse uma régua com todos os valores de do menor para o maior. Os valores de nessa reta crescem da esquerda para a direita. Essa reta é cortada pela reta bem no ponto onde . Ou seja, o lado esquerdo desse ponto de corte tem os valores negativos de . Como os valores negativos de fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A reta é como se fosse uma régua com todos os valores de do menor para o maior. Os valores de nessa reta crescem de cima pra baixo. Essa reta é cortada pela reta bem no ponto onde . Ou seja, a parte acima desse ponto de corte tem os valores positivos de . Como os valores positivos de fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A nossa região do domínio será a que pertence as duas condições ao mesmo tempo. Assim, pintando as duas em um mesmo plano teremos:

O domínio é a parte que está a esquerda da reta e acima da reta . Portanto, ela é a parte verde do gráfico.

Como vocês estão, galera?

Esse é mais um exercício de determinar o domínio de uma função vetorial .

Como uma função vetorial tem várias funções dentro dela, podemos nomear cada uma dessas funções para a gente se organizar.

A função do primeiro componente pode se chamar .

A função do segundo componente pode se chamar .

Por fim, a função do terceiro componente pode se chamar .

Temos então:

Beleza, fizemos isso para deixar nossa solução mais organizada. Mas ainda resta responder uma pergunta: o que exatamente significa determinar o domínio?

Determinar o domínio é achar os valores de que não causam problema de conta nas funções , e .

Para ficar mais claro o que são esses problemas de conta, vamos ver o próximo passo!

Para a gente achar os valores de que não fazem as funções , e terem um problema de conta, a gente precisa descobrir os valores de que causam problemas de conta.

Existem três situações muito comuns de acontecerem:

1. Divisão por zero. Sempre que a função tiver uma fração, temos que garantir que o denominador não vale zero!
2. Raiz quadrada de número negativo. Sempre que a função tiver uma raiz quadrada, temos que garantir que a parte de dentro da raiz nunca seja negativa.
3. de número menor ou igual a zero. Sempre que uma função tiver um , precisamos garantir que a parte de dentro do seja maior que zero!

Para achar todos os problemas de conta, temos que procurar em cada uma das três funções uma raiz quadrada, uma fração e um .

De cara nós podemos ver que a função tem uma raiz quadrada.

Logo, nós temos que garantir que a parte de dentro dessa raiz não seja negativa. Ou seja, essa parte de dentro precisa ser maior ou igual a zero.

Passando o para o lado direito, fazemos o sinal de menos sumir.

Vamos só trocar de lado pra ficar mais fácil de ler. Ahh, não esquece de trocar o sinal também, ok!

A expressão acima diz que tem que ser menor ou igual a . Para ser menor ou igual a , tem que estar entre o e o .

Vamos ver isso em uma reta numérica que vai ficar mais claro:

Perceba que valores menores que nos darão maior que , e valores, maiores que , também.

Assim:

Ou seja, tem que valer entre e para não causar um problema de conta na função .

No próximo passo, vamos verificar os valores de que poder causar erro de conta nas funções e .

Vamos olhar para a função e procurar uma raiz quadrada, uma fração ou um nela.

Ela não tem nada disso, certo? Logo, nenhum valor de pode causar um erro de conta em . Então dizemos que seu domínio são todos os números Reais .

Por fim, vamos olhar para .

Ele tem um . Então, a parte de dentro dele tem que ser maior que zero! Logo:

Agora, vamos passar o para o lado direito.

Isso quer dizer que o tem que ser maior que para não causar nenhum problema de conta em .

Então a gente tem duas condições, a primeira definida em e a terceira definida em

Vamos ver visualmente como juntar essas duas condicoes!

Nossos valores de precisano estar entre e , incluindo esses valores, mas também precisamo ser maiores que . Quando acontece isso a gente pega os valores que respeitam as duas condições ao mesmo tempo.

Então nosso intervalo é:

Se ficar dentro desse intervalo, ele não dá problema de conta em nenhuma das três funções que existem dentro da função vetorial .

Logo o domínio de são justamente esses valores de !

Pronto! Determinamos o domínio!

Beleza, pessoal, o exercício quer que a gente calcule o limite desse cara enorme que tem um , um e um esquisitos. Como a gente faz isso e o que são essas letras , e ?

Essas três letras são usadas para mostrar que a função vetorial abaixo tem três componentes diferentes (uma para cada letra).

Para a gente organizar nossa resolução, o primeiro passo é dar um nome diferente para cada componente.

Agora fica mais fácil de entender o que é calcular o limite da função vetorial.

Pra isso, vamos calcular separadamente os limites de cada componente , e .

Vamos fazer isso no próximo passo!

Nesse passo, vamos tentar calcular o limite de .

O primeiro passo para calcular qualquer limite é substituir pela tendência de . A tendência de é . Logo, vamos substituir por em .

Opa! Deu um problema nessa conta aí!

Ao substituir por diretamente obtemos uma divisão de zero por zero. E não podemos calcular, pois ela é uma indeterminação!

Sempre que temos uma indeterminação desse tipo podemos usar a regra de L’Hôpital.

No próximo passo nós vamos entender melhor o que é essa regra.

A regra do L’Hôpital diz que, para sair dessa indeterminação, podemos fazer as derivadas do numerador e o denominador da fração e depois aplicar limite na nova fração encontrada!

Para , é o numerador e o denominador.

Logo, temos que responder as seguintes perguntas: Quem são suas derivadas?

Vamos começar calculando a derivada do numerador. Para isso, temos que lembrar que podemos derivar uma subtração, derivando cada termo separadamente.

Para derivar temos que usar a regra do peteleco. Nessa regra, o expoente de cai e deixa no seu lugar um expoente que vale ele mesmo menos 1.

Além disso, a derivada do sozinho vale .

Assim nós encontramos a derivada do numerador!

Agora vamos derivar o denominador . Aqui também podemos fazer a derivada de cada termo separadamente.

Como a derivada de constante vale zero, a derivada de é igual a zero.

E temos novamente a derivada de sozinho que sempre vale !

Substituindo isso, descobrimos a derivada do denominador.

Depois de derivar o numerador e o denominador o limite de fica:

Agora sim podemos substituir por com segurança!

Isso significa que o limite do primeiro componente é igual a !

Vamos descobrir quanto vale o limite de no próximo passo.

O limite de pode ser calulado, substituindo pela sua tendência que vale .

O limite de vale .

Essa foi mais fácil!

Vamos para o próximo passo que é calcular o limite de .

Primeiro, vamos tentar calcular o limite de , substituindo pela sua tendência que vale .

vale zero e também vale zero.

Ou seja, substituir por diretamente gera uma indeterminação. Isso quer dizer que precisamos usar a regra de L’Hôpital e derivar o numerador e o denominador do limite novamente.

No passo seguinte a gente aplica essa regra!

Agora vamos partir para o numerador que é igual a !

A derivada de nós conseguimos calcular tranquilo. Ela é igual a . Mas quanto vale a derivada de ? Para ficar mais fácil de responder, vamos chamar de .

Repara que temos uma função dentro da outra, por isso para calcular a derivada de , temos que usar a regra da cadeia.

Essa regra diz que a derivada de é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da de dentro.

é a uma derivada que a gente calcula normalmente. Temos a derivada do seno que é o cosseno

Substituindo por novamente:

Essa foi a de fora.

Agora a de dentro, . Como a constante não interfere na derivada, podemos tirar ela da derivada.

A derivada de sozinho vale ! Substituindo isso, achamos:

Agora podemos calcular a derivada de pela regra da cadeia.

Enfim, podemos calcular o limite de .

Agora vamos calcular a derivada do denominador de que é igual a .

A derivada de é sempre igual a .

Pronto! Já calculamos a derivada do numerador e do denominador.

Nesse limite, temos a divisão de pela fração . Dividir por uma fração é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso da fração. Como o inverso de vale :

Aplicando o limiete e substituindo por , achamos:

Lembrando que , achamos:

Ou seja, o limite de vale .

Achamos os limites de todas as componentes da função vetorial.

No próximos passo, vamos mostrar como devemos expor o resultado do cálculo do limite de funções vetoriais.

Para mostrar o resultado de cáclulo de limite de uma função vetorial de uma forma organizada, usamos as letras , e para separar os três componentes. é a componente que fica junto com . é o componente que fica junto com e é o componente que fica junto com . Ou seja:

Agora sim terminamos o exercício! Foi longo, mas valeu a pena!

Desta forma:

Fala aí, bora matar mais essa questão aqui no peito! A questão pede pra gente calcular o limite tendendo ao infinito e para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada um dos seus componentes.

Sendo que o primeiro termo corresponde a componente , o segundo termo corresponde a componente e o terceiro termo corresponde a componente .

Limite da componente :

Substituindo diretamento o limite, teremos uma indeterminação do tipo:

Então precisavos tentra resolver de outra manira.

O melhor método pra resolver quando temos divisão de polinômios e o limite tende a intinito, é colocarmos em evidencia a variável de maior grau! No caso o .

Parece complicado o que eu disse? Acompanha comigo. Antes vamos escrever o 1 como sendo :

Agora que temos o nos dois termos, tanto em cima quando embaixo, vamos colocar ele em evidência na frente dos parênteses:

Fazendo isso, consiguimos cortar os dois , e ficar com

Observa que agora, quando eu for aplicar o infinito dentro do limite eu vou ter divisões por infinito, que a gente sabe que dá zero!

Prontinho, conseguimos calcular o limite sem cair em intederminação.

Limite da componente :

Essa daqui pode ser um pouco chatinha, mas se você pensar comigo a gente resolve. Lembra como é o gráfico da

Como estamos trabalhando com a inversa dela, ou seja, , isso é como se a gente girasse ela, trocando o eixo por , ficando

Então, como a tg fica com restrito entra , sabemos que essas vão ser as assíntotas horizontais agora!

Observa então que quando o dessa nossa função está la no infinito, sabemos que vai tender pra . A nível de curiosidade a gente consegue também observar que caso o limite fosse pra menos infinito, a função iria para .

Assim a gente acabou de descobrir o limite desejado:

Limite da componente :

Vamos primeiramente separar essa subtração na fração, ficamos então com

Como aquele exponencial está elevado a um número negativo, podemos colocar ele no denomidador

Agora vamos simplesmente substituir o infinito na função

Um numero inteiro dividido porá infinito sabemos que dá zero certo? Então temos

Desta forma:

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então,

Os dois primeiros deram certo, mas no terceiro caímos em uma indeterminação, então precisaremos fazer esse limite de maneira diferente.

Como o terceiro limite tem uma indeterminação, vamos usar a greda de L’Hôpital. Ela nos ajuda a achar o limite de uma fração quando o limite do numerador e do denominador nos levam a uma indeterminação.

Mas você pode estar pensando: “mas ali não temos uma fração”. E é por isso que antes de tudo, vamos transformá-la em fração:

Fazemos isso lebrando que quando temos uma fração embaixo no denominador, nós jagamos ela pra cima invertida multiplicando o numerado. Assim ó:

No nosso caso, temos o . Vamos escrever esse como e fazer o processo inverso, jogando ele pra baixo invertido:

Agora que já está na forma de fração, vamos aplicar a regra do L’Hôpital

Nela faremos a derivada do numerador e do denominador e aplicaremos o limite no resultado que encontrarmos.

Derivando o numerador temos:

E derivando o denominador:

Assim, nosso limite se transforma em:

Ainda tá bem feio isso aí. Pra melhora a forma como está escrito, lembramos que na divisão de frações, nós repetimos a de cima e multiplicamos pela inverso da de baixo:

Simplificando um de cima com o de baixo, nossa função ficará:

Bem melhor, né?

Agora, finalmente a gente aplica o limite

Ufa e depois de tudo isso, concluímos:

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então para a primeira:

Como

Eita, caímos em uma indeterminação. Então vamos usar L’Hôpital, derivando em cima e embaixo e depois reaplicando o limite:

A derivada do numerador é:

E a do numerador:

Assim, nosso limites se torna:

Essa foi, agora as próximas.

Continuando, temos a segunda componente para aplicar o limite:

Opa, novamente uma indeterminação. Aqui o L´Hôpital vai nos dar muito trabalho, então vamos tentar outra coisa.

Vemos que há uma raiz quandrada ali, então vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do numerador. O conjugado é a mesma expressão mas com o sinal trocado. Assim o conjugado de é . Então:

Perceba que no numerador temos a multiplicação da soma pela diferença de e . Isso é um produto notável, que nós dá uma diferenção de quadrados do tipo:

Assim, nosso numerador ficará:

Podemos cortar o quadrado com a raiz ficando com

e nosso limite se transforma em:

Agora cortamos o de cima com o de baixo:

Já melhorou bastante, então vamos aplicar o limite fazendo

Prontino, essa também já foi. Agora vamos para a úlitima.

Vamos aplicar nosso limite diretamente:

Essa foi mais tranquila. Ufa!

Show! Concluímos que: