Pra cada ponto basta substituir os valores dados de , e na função.

1. Nessa letra, ele diz que é o ponto , ou seja então onde tiver na função vamos substituir por , onde tiver por e onde tiver substituiremos por , então nossa função que é:Fica assim:

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

2. Vamos fazer a mesma coisa para o ponto , lembrando que nesse caso temos que , e

Beleza, agora vamos pra letra c).

Passo 3

3. Sem mistério né? Vamos repetir a mesma coisa para o ponto

a)

Pra função ser definida, o termo dentro da raiz par não pode ser negativo, ou seja,

Passando para outro lado ficamos com

Que é a mesma coisa que:

Essa equação lembra muito a esquação da esfera que é desse jeitão aqui:

No caso da nossa desigualdade temos que:

Então se a gente pensar juntinhos podemos concluir que, o domínio de é de uma esfera de raio 5 centrada na origem. Além do interior da esfera também temos a casca da esfera porque temos o sinal de

b)

Nesse caso é mais tranquilinho porque a função exponencial admite qualquer termo sem dar problema. Então o domínio dessa função é simplesmente todo o . 😊

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele tem que ser diferente de 0.

Vamos analisar como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando o que está dentro do vale , o valor de é (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer ,

E como a gente viu que isso só pode acontecer quando:

Show já achamos um ponto onde a função não existe, mas ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que :

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram resolvidos direitinho, podemos olhar pra parte de cima da fração.

Veja, temos aqui uma raiz quadrada

E vale lembrar que seu interior não poder valer menos do que

Assim, fica:

Agora é só juntar tudo!

Do passo temos que

Do passo 2 temos que

E, do passo 3, temos que

Assim, nosso domínio é definido por:

Se não se sentir à vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova!

Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos , sendo e pertencendo aos reais, tais que e

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?

a)

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o . Mas para acharmos a imagem a gente tem que se ligar em uma coisa

Como ele sempre vai ser maior que , podemos afirmar que

E isso implica que:

Porque vai ser sempre maior que

Portanto, a imagem de é o conjunto . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

b)

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

Lembrando que na função logaritmo, o que fica dentro do tem que sempre ser maior que zero

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do ! Ou seja,

Assim,

Ou seja, a imagem de é todo o !

c)

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o . 😊

d)

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, já que quando temos uma raiz par o que está dentro da raiz não pode ser menor que zero então temos:

Então o domínio da função é o conjunto dos do que respeitem essa condição.

Mas calma, ainda vamos achar a imagem dessa letra d) repara aqui, no passo anterior chegamos a conclusão que:

Então, passando o para o outro lado, podemos afirmar que

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

Então temos

Porque como já é menor que

E vai ser sempre menor ou igual a já que você está diminuindo um valor maior que zero ele só pode diminuir!

Assim, a imagem de é o conjunto .

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o que está dentro da função logarítmo deve sempre ser maior que .

Assim, não função:

temos que o argumento

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

Passando para o outro lado ficamos com

“Hmmm ainda não to conseguindo visualizar direito o que pode ser isso”, quando isso acontece a gente costuma a dividir os dois lados pelo número que ficou sozinho, ficamos com:

E a gente pode cortar os ’s e nas frações de e , ficando com

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsóide?

E encontramos

Ou seja, nosso , e ! E o sinal de “menor que” tem apenas a função de nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsóide.

Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que , o que torna a inequação falsa!

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Temos que anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, anulando a variável , ou seja, fazendo , teremos:

Que representa uma elipse no plano , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Agora, fazendo o mesmo para ,fazendo , temos a curva projetada no plano :

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Finalmente, anulando a variável , encontramos com que

Que é a equação de uma circunferência no plano , pois os denominadores de e possuem o mesmo valor!

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsóide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido. A gente fica com isso aqui:

Tudo que está dentro desse elipsóide é nosso domínio! Muito doido né? :P

A gente precisa achar o domínio e esboça-lo, vamos por partes então!Começando por colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que

2-O denominador da fração não pode ser

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que , então, na nossa função

Vamos separar em partes! A primeira é essa aqui:

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Agora para

temos uma raíz par, então precisamos que

Passando o para o outro lado, ficamos com

Agora para nossa ultima parte da função temos que o denominador da fração não pode ser

Logo,

Maaaas não acabamos por ai, percebe aqui comigo o denominador também é uma raíz par, então além de ser ele tambem tem que ser maior que zero.

Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

Juntando as duas condições temos que

Mas agora como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

e para

temos algo parecido. Agora teremos a reta

E como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Opa, fala aiii! Simbora com mais uma questão de curvas de nível uhul

Mano, esse tipo de questão é totalmente visualização.

A única coisa a se fazer é tentar visualizar como são os cortes horizontais da superfície e comparar com as alternativas.

A curva é aquela que cada corte vai resultar em vários círculos iguais, que é a da figura .

O mapa de contorno visualizando os cortes vamos ver tipo uma ondinha com a “perna” na parte positiva do eixo .

Enfim, não confunda com a alternativa , o gráfico certo é o .

O mapa se fizermos os cortes vamos ver tipo uma ondinha com parecido com a anterior, mas ela é simétrica, que é o gráfico .

Repare que o gráfico lembra vários paraboloides, e de fato as bolinhas do mapa de contorno lembram as curvas de nível de um paraboloide.

Opa, fala ai belezinha? Vamos seguir com nossos estudos pra ficar fera na matéria!

Pra achar as equações das curvas de nível, a gente precisa igualar a função a uma constante qualquer :

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o .

Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:

Vou usar o exemplo de uma função um pouco mais conhecida, que é , que vou desenhar em verde e em laranja, para mostrar como é esse deslocamento

E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa, mas com a função , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo!

O gráfico da função é assim, lembra?

Agora é só deslocar o gráfico várias vezes! Ele não disse quantas exatamente, mas fazendo umas ou deve ficar de bom tamanho.

Eu fiz valer e , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível, então a gente vai desenhar o mesmo gráfico só que deslocando ele pra cima, quando for positivo e pra baixo quando for negativo 😊

Opa, vamo que vamo para mais uma questão uhul!

Começando pelo item (a):

A gente vai substituir e para descobrir :

Show, foi de boinhas né? hehe

Resolvendo o item (b):

Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a . Logo:

Hmm, ainda ta meio nublado que que é essa função, vamos dividir tudo por

Portanto, os pontos que satisfazem essa equação satisfazem .

Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função !

Hmmm, essa funçãozinha ai é conhecida né? Se você não lembra, vou falar aqui pra você, a função que acabamos de encontrar é uma elipse.

Ela é centrada em e seu gráfico é o seguinte:

Opaa, vamos continuar nossos estudos aqui que a gente tá na reta final!

Ok, ele quer a curva de nível que tem . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função e igualá-la a :

E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?

Passando o denominador multiplicando pro outro lado, temos:

Fazendo essa distributiva, ficamos com

Dividindo tudo por , vamos ter:

Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o ? Vamos pensar num produto notável com . Vamos pensar aqui:

Uhul, vamos adicionar e subtrair na nossa equação, ficando com:

Vamos dividir tudo por para focar com do outro lado! Temos então:

E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em !

Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo ? Para saber disso, temos que fazer , e então teremos o ponto pedido :)

Tirando a raiz quadrada dos dois lados,

Isso da pra gente isso aqui:

Mas tome muito cuidado agora!

Encontramos os pontos e , certo? Não!

Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores na função temos uma divisão por zero.

Assim, temos apenas o ponto , pois a curva não toca a origem:

Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:

Então, como nosso e , seu centro está em . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, e na direção e e na direção !