Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Passo 1

Vamos começar fazendo a derivada parcial em relação a x , ou seja, ∂ f ∂ x para isso consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ x = y x 2 ' - 3 y 2 x + 2 y z ( 1 ) '

Agora que já tiramos as constantes é só integrar e partir pro abraço, ficamos com isso aqui

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ y = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 z y '

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 z 1

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = x 2 y ' - 3 x y 2 ' + 2 y z '

∂ f ∂ z = x 2 y 1 ' - 3 x y 2 1 ' + 2 y z '

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

A gente vai começar calculando ∂ f ∂ x , lembrando que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à x então tudo diferente de x é considerado como constante

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Xiii como que eu faço essa derivada doida ai? Cara quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

Então nossa derivada fica

x 3 + y 2 ' * x 2 + y 2 - x 3 + y 2 * x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Parece um monstro de 7 cabeças né? Kkkkk mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo disso ai e vai ficar mais tranquilo

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada

∂ x 3 + y 2 ∂ x

Como a gente já viu, o y vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale

∂ x 3 + y 2 ∂ x = 3 x 2

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada mais da direita

∂ x 2 + y 2 ∂ x

De novo, y   vale como constante porque estamos derivando em relação a x , então ficamos com

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x

Passo 4

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 2

Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Podemos ajeitar mais um pouquinho!

∂ f ∂ x = 3 x 4 - 2 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

E o grand finale da nossa derivada parcial ∂ f ∂ x é essa belezura aqui:

⇒ ∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 5

Agora para derivada parcial ∂ f ∂ y , ela é em relação à y então tudo diferente de y é considerado como constante

Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a y , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Passo 6

Vamos começar com a primeira derivada

∂ x 3 + y 2 ∂ y

Como a gente já viu, o x vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale

∂ x 3 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 7

Agora vamos calcular a derivada mais da direita

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 8

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 2

Como temos 2 y nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Ó que beleza, podemos cortar os y 2 do numerador, ai vamos ficar com

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o x 2 em evidência, olha como a gente pode fazer isso

Como x 3 = x 2 * x e x 2 = 1 * x 2 , ficamos com

∂ f ∂ y = 2 y x 2 ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Então nosso resultado pode ser escrito assim:

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 1.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y = ( x 3 + y 3 ) ( x - y )

Passo 1

Fala aiii, tudo bem? Vamos continuar com as nossas derivadas parciais!

Ele pede as derivadas parciais, são elas

∂ f ∂ x   e   ∂ f ∂ y

A gente deriva a mesma função, mas a primeira em relação a x

E a segunda em relação a y , sacou? Então vamos partir para essas derivadas!

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x ,

f x , y = ( x 3 + y 3 ) ( x - y )

Estamos vendo uma multiplicação ai! Pra não termos que fazer a distributiva, vamos usar a regra do produto, que é desse jeitinho aqui

a . b ' = a ' . b + b ' . a

Então nossa derivada fica

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = x 3 + y 3 ' ⋅ x - y + x - y ' ⋅ x 3 + y 3

Como a gente ta derivando em relação a x , essas derivadas são mais tranquilinhas, porque é como se a primeira fosse x 3 '   e a segunda ( x ) ' , já que a derivada de y em relação a x é zero 😊

x 3 + y 3 ' = ( x 3 ) ' = 3 x 2

x - y ' = ( x ) ' = 1

Com esse bizu esclarecido, vamos partir pra essa regrinha da cadeia

∂ f ∂ x = 3 x 2 x - y + 1 x 3 + y 3

Agora, fazendo a distributiva temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 3 x 3 - 3 x 2 y + x 3 + y ³

Juntando os termos x 3 em comum, temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 4 x 3 + y 3 - 3 x 2 y

E essa é a nossa primeira derivada parcial!

Passo 3

Vamos partir pra cima da próxima derivada parcial, agora estamos derivando em relação a y !! Lembrando que a nossa função é essa daqui:

f x , y = ( x 3 + y 3 ) ( x - y )

Vamos usar a regra do produto de novo, que é desse jeitinho aqui

a . b ' = a ' . b + b ' . a

Então nossa derivada fica

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = x 3 + y 3 ' ⋅ x - y + x - y ' ⋅ x 3 + y 3

Como a gente ta derivando em relação a y , essas derivadas são mais tranquilinhas, porque é como se a primeira fosse y 3 '   e a segunda ( - y ) ' , já que a derivada de x em relação a y é zero 😊

x 3 + y 3 ' = ( y 3 ) ' = 3 y 2

x - y ' = - y ' = - 1

∂ f ∂ y = 3 y 2 x - y - 1 . ( x 3 + y 3 )

Fazendo a distributiva, temos isso aqui:

∂ f ∂ y = 3 y 2 x - 3 y 3 - x 3 - y ³

Juntando os y 3 em comum, temos que a nossa derivada parcial em relação a y é:

∂ f ∂ y = - x 3 - 4 y 3 + 3 y ² x

Resposta

∂ f ∂ x = 4 x 3 + y 3 - 3 x ² y

∂ f ∂ y = - x 3 - 4 y 3 + 3 y ² x

Exercício Resolvido #4

UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos continuar nossa jornada nas derivadas parciais!

Ele pede duas derivadas parciais, são elas

∂ f ∂ x   e   ∂ f ∂ y

A gente deriva a mesma função mas a primeira em relação a x

E a segunda em relação a y , sacou? Então vamos partir para essas derivadas!

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f ∂ x , lembrando que tudo que não for x a gente trata como constante!!

f x , y = e x y   l n x 2 y

Puuuuts, que derivada grande, como que eu vou fazer ela? A gente vai relembrar da regra do produto, ela é assim ó:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

Então nossa derivada fica

∂ f ∂ x = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Passo 3

Vamos ver quem são essas derivadas! (lembrando que essas derivadas são em relação a x )

Começando por e x y '

Para fazer essa derivada temos que usar a regra da cadeia, a gente usa ela quando temos uma funão dentro da outra, ela é desse jeitão aqui

( f g x = f ' ( g x ) ⋅ g ' ( x )

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f x = e x   e   g x = x y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( x ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver x vamos colocar x y , que é a nossa g ( x )

f ' x = e x → f ' g x = e x y

E para g x

g x = x y → g ' x = 1 y

Então nossa derivada e x y '

e x y ' = e x y ⋅ 1 y

Passo 4

Agora para ln ⁡ x 2 y '

Também vamos fazer a regra da cadeia, onde

f x = ln ⁡ x e   g x = x 2 y

Então vamos derivar essas funções (lembrando de novo, por enquanto só em relação a x)

f ' x = 1 x → f ' g x = 1 x 2 y

Podemos ajeitar esse 1 x 2 y desse jeitinho aqui:

f ' x = 1 x 2 y = y x 2

Agora para g x = x 2 y

g ' x = 2 x y

Então nossa derivada ln ⁡ x 2 y ' é

ln ⁡ x 2 y ' = 2 x y ⋅ y x 2

Podemos simplificar cortando os y ' s e x , ficando com

ln ⁡ x 2 y ' = 2 x

Passo 5

Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto

∂ f ∂ x = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Substituindo pelos valores que achamos, temos que

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y ⋅ ln ⁡ x 2 y + 2 x ⋅ e x y

Vamos pegar o fator comum e x y e coloca-lo em evidencia, ficando com

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

E essa é a nossa primeira derivada parcial

Passo 6

Para ∂ f ∂ y ,   vamos fazer a mesma coisa, mas agora derivando em relação a y , lembrando que tudo que não for y a gente trata como constante!!

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Passo 7

Começando pela primeira derivada, vamos seguir o mesmo passo da regra da cadeia, mas agora um pouquinho mais rapido, beleza? (lembrando que essas derivadas agora são em relação a y )

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

As derivadas são

f ' g x = e x y

g x = x y → g x = x ⋅ y - 1

Então, temos que

g ' x = - x ⋅ y - 2 → x y 2

e x y ' = e x y ⋅ - x y 2

Passo 8

Agora para ln ⁡ x 2 y '

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

f ' g x = y x 2

E para g ( x )

g x = x 2 y

Seguindo a mesma logica de x y , temos que

g ' x = - x 2 y 2

ln ⁡ x 2 y ' = y x 2 ⋅ - x 2 y 2

Simplificando isso, ficamos com:

ln ⁡ x 2 y ' = - 1 y

Passo 9

Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto

∂ f ∂ y = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Substituindo pelos valores que achamos, temos que

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 y + - 1 y ⋅ e x y

Colocando - e x y   em evidencia, temos isso aqui:

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #5

Considere a equação F x , y = c o s   ( x - 8 y )   - x e 4 y = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula d x d y = - F x F y , temos:

  1. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y  
  2. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y
  3. d x d y = 8   s e n x - y   +   e 4 y s e n x - 8 y   - 8 x e 4 y
  4. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y s e n x - y   - x e 4 y
  5. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Vamos seguir nossos estudos para ficar fera nas derivadas parciais.

O enunciado assusta um pouco falando de relação implícita entre x e y , mas na verdade, ele só quer que a gente use a fórmula para d x d y que ele dá.

Então o que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de F ( x , y ) e substituir nessa fórmula. Sendo que

  d x d y = - F x F y

Passo 2

Temos que:

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

Vamos separar em duas derivadas, ou seja desse jeitinho aqui

cos ⁡ x - 8 y '   e   - x e 4 y '

No primeiro e no segundo, um produto entre x e uma constante.

Vamos começar com cos ⁡ x - 8 y '

Temos uma função composta então vamos usar a regra da cadeia de x , lembrando que ela é desse jeitão aqui

( f g x = f ' ( g x ) ⋅ g ' ( x )

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f x = cos ⁡ x e   g x = x - 8 y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( x ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver x vamos colocar   ( x - 8 y ) , que é a nossa g ( x )

f ' x = - s e n x → f ' g x = - s e n ⁡ ( x - 8 y )

E para g x

g x = x - 8 y → g ' x = 1

Então nossa derivada cos ⁡ x - 8 y '

cos ⁡ x - 8 y ' = - s e n x - 8 y ⋅ 1

Mas pera lá, ainda falta uma coisinha para essa derivada parcial, lembra que a nossa função é F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

Então ainda precisamos da derivada de   - x e 4 y

Como estamos derivando em relação a x , tudo que não é x , ou seja - e 4 y vai ser que nem uma constante, ou seja continua multiplicando normal!

  - x e 4 y ' = - e 4 y x ' = - e 4 y

Então, juntando essas duas derivadas temos que:

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y

Passo 3

Agora para y ,   vamos usar a mesma função só que vamos derivar em relação a y  

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

Vamos separar em duas derivadas, ou seja desse jeitinho aqui

cos ⁡ x - 8 y '   e   - x e 4 y '

No primeiro e no segundo, um produto entre x e uma constante.

Vamos começar com cos ⁡ x - 8 y '

Temos uma função composta então vamos usar a regra da cadeia de y , lembrando que ela é desse jeitão aqui

( f g y = f ' ( g y ) ⋅ g ' ( y )

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f y = cos ⁡ y e   g y = x - 8 y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( x ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver x vamos colocar   ( x - 8 y ) , que é a nossa g ( x )

f ' y = - s e n y → f ' g y = - s e n ⁡ ( x - 8 y )

E para g x

g x = x - 8 y → g ' x =

Então nossa derivada cos ⁡ x - 8 y '

cos ⁡ x - 8 y ' = - s e n x - 8 y ⋅ - 8

cos ⁡ x - 8 y ' = 8 s e n x - 8 y

Mas pera lá, ainda falta uma coisinha para essa derivada parcial, lembra que a nossa função é F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

Então ainda precisamos da derivada de   - x e 4 y

Como estamos derivando em relação a y , tudo que não é x , ou seja - e 4 y vai ser que nem uma constante, ou seja continua multiplicando normal!

Vamos ter outra regra da cadeia

f y = x e y   |   g y = 4 y

f ' y = x e y → f ' g y = x e 4 y

g ' y = 4

Então, pela regra da cadeia, temos que

  x e 4 y ' = 4 x e 4 y

Então, juntando essas duas derivadas temos que:

F y = 8 s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Passo 4

Agora, vamos lembrar o que o enunciado pede pra gente! Ele quer isso aqui:

- F x F y

E achamos que

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y

F y = 8 s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

d x d y = - F x F y = - - s e n x - 8 y   - e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y  

Podemos mudar o sinal do numerador, porque temos um sinal de menos multiplicando, então ficamos com:

  s e n x - 8 y   + e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Que é a letra b.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #6

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 2.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y = sen ⁡ ( x + y ) + cos ⁡ ( x - y )

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos continuar nosso treinamento intensivo de derivadas parciais haha!

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x (lembrando que tudo que não for x podemos considerar como constante).

Para isso vamos dividir essa derivada em duas derivadas mais tranquilinhas

f x , y ∂ x = ∂ sen ⁡ x + y ∂ x   + ∂ cos ⁡ x - y ∂ x

Vamos fazer primeiro ∂ sen ⁡ x + y ∂ x

Como temos uma função dentro de outra vamos usar a regra da cadeia, que é desse jeitão aqui:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f x = s e n x e   g x = x + y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( x ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver x vamos colocar x + y   que é a nossa g ( x )

f ' x = c o s ⁡ ( x ) → f ' g x = c o s ⁡ ( x + y )

E para g x

g x = x + y → g ' x = 1

Então nossa derivada ∂ sen ⁡ x + y ∂ x  

∂ sen ⁡ x + y ∂ x   = cos ⁡ x + y ⋅ 1

Agora para segunda parte da nossa derivada temos ∂ cos ⁡ x - y ∂ x

Vamos seguir a mesma ideia da anterior, usar a regra da cadeia

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

f x = cos ⁡ x   e   g x = x - y

f ' x = - s e n x → f ' g x = - s e n ( x - y )

g ' x = 1

Então nossa derivada ∂ cos ⁡ x - y ∂ x  

∂ cos ⁡ x - y ∂ x   = - s e n x - y ⋅ 1

Agora juntando essas nossas duas derivadas, temos

f x = cos ⁡ ( x + y ) . 1 - sen ⁡ x - y . 1

f x = cos ⁡ x + y - sen ⁡ x - y

Passo 2

Agora, para a derivada parcial em relação a y , do mesmo modo (lembrando que tudo que não for y podemos considerar como constante) temos que:

f x , y ∂ y = ∂ sen ⁡ x + y ∂ y   + ∂ cos ⁡ x - y ∂ y

Vamos fazer primeiro ∂ sen ⁡ x + y ∂ y

Como temos uma função dentro de outra vamos usar a regra da cadeia, que é desse jeitão aqui:

f g y ' = f ' g y ⋅ g ' y

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f y = s e n y   e   g y = x + y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( y ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver y vamos colocar x + y   que é a nossa g ( y )

f ' y = c o s ⁡ ( y ) → f ' g y = c o s ⁡ ( x + y )

E para g x

g y = x + y → g ' y = 1

Então nossa derivada ∂ sen ⁡ x + y ∂ y  

∂ sen ⁡ x + y ∂ y   = cos ⁡ x + y ⋅ 1

Agora para segunda parte da nossa derivada temos ∂ cos ⁡ x - y ∂ y

Vamos seguir a mesma ideia da anterior, usar a regra da cadeia

f g y ' = f ' g y ⋅ g ' y

f y = cos ⁡ y   e   g y = x - y

f ' y = - s e n y → f ' g y = - s e n ( x - y )

g ' y = - 1

Então nossa derivada ∂ cos ⁡ x - y ∂ y  

∂ cos ⁡ x - y ∂ x   = - s e n x - y ⋅ ( - 1 )

Agora juntando essas nossas duas derivadas, temos

f y = cos ⁡ ( x + y ) . 1 - sen ⁡ x - y . ( - 1 )

Ajeitando esses sinais no finalzinho, temos que?

f y = cos ⁡ x + y + sen ⁡ x - y

Resposta

f x = cos ⁡ x + y - sen ⁡ x - y

f y = cos ⁡ x + y + sen ⁡ x - y

Exercício Resolvido #7

Apostila de Cálculo II, W. Bianchini, seção 5.5, Exemplo 5.14, página 81

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Passo 1

E aii, belezinha? Vamos la!

Vamos começar calculando ∂ f ∂ x :

∂ ∂ x x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Como estamos derivando em relação a x , temos:

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 + 3 2 x y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ f ∂ y :

∂ ∂ y x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Como estamos derivando em relação a y , temos:

∂ f ∂ y = 0 + 2 3 y 2 + 3 x 2 ( 2 y )

⇒ ∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

Passo 3

Agora vamos pras de segunda ordem!

Calculando ∂ 2 f ∂ x 2 :

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

Como já achamos ∂ f ∂ x , temos que:

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 3 x 2 + 6 x y 2

Derivando em relação a x , ficamos com

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 3 2 x + 6 1 y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

Show, achamos a primeira derivada de segunda ordem!

Passo 4

Calculando ∂ 2 f ∂ y 2 :

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Já achamos ∂ ∂ y , então temos:

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y 6 y 2 + 6 x 2 y

Derivando em relação a y :

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 2 y + 6 x 2 ( 1 )

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

Uhul, achamos a segunda derivada de segunda ordem!

Passo 5

Agora para ultima, vamos calcular ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Já achamos ∂ f ∂ y , então temos

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x 6 y 2 + 6 x 2 y

Derivando em relação a x , ficamos com:

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0 + 6 2 x y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

De maneira alternativa, também podemos calcular

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 3 x 2 + 6 x y 2

Derivando em relação a y temos:

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0 + 6 x ( 2 y )

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 12 x y

Perceba que o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

Exercício Resolvido #8

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 1

Seja

f x , y = e sen ⁡ x + x 5 y + ln ⁡ 1 + y 2

Então ∂ 2 f ∂ x ∂ y é igual a:

a 2 y 1 + y 2

b 5 x 4

c 20 x 3 y

d e sen ⁡ x cos ⁡ x

e e sen ⁡ x cos ⁡ x + x 5 + 2 y 1 + y 2

Passo 1

Ooooopa, fala aii!

Essa questão Parace que vai ser chata, né?! Mas pelo menos é só derivar...

Queremos achar a derivada parcial mista dessa função f ( x , y ) .

Então vamos lá: vamos derivar primeiro em relação a x e depois em relação a y .

Passo 2

Começando pela derivada em relação a x (lembrando que tudo que não tem x é considerado constante)

Vamos ter que fazer a regra da cadeia, lembrando que ela é assim

( f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

A nossa função é

f x , y = e sen ⁡ x + x 5 y + ln ⁡ 1 + y 2

Entao em e s e n x temos

f x = e x                                         e               g x = s e n x

f ' g x = e s e n x                   e                   g ' x = cos ⁡ x

ENtao nossa derivada de e s e n x = cos ⁡ x   e s e n x

Temos, portanto, que nossa derivada em relação a   x fica:

∂ f ∂ x = cos ⁡ x e sen ⁡ x + 5 x 4 y

Passo 3

Agora vamos pegar essa derivada parcial em relação a x e derivar em relação a y (lembrando que tudo que não tem y é considerado constante)

∂ f ∂ x = cos ⁡ x e sen ⁡ x + 5 x 4 y

Agora derivando isso em relação a y , temos

∂ ∂ f ∂ x ∂ y = 5 x 4

O primeiro termo todinho morre, porque ele não tem y . E pronto, taí nossa resposta.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #9

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = x y e y 2

Passo 1

Faaaaaaaaala ai! Vambora pra mais uma questão de derivadas parciais!

Vamos lá, aquele trabalho braçal de derivar. Coragem, amigos

Começando pelas derivadas primeiras:

f x , y = x y e y 2

Passo 2

Bora começar com a derivada parcial em relação a x (lembrando que tudo que não tem x é considerado constante!!)

∂ ∂ x x y e y 2 = 1 . y e y 2

= y e y 2

Fácil, né?

Agora para a derivada parcial em relação a y vai ser um pouuuco mais chatinho. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, tá bem?

Lembrando elas rapidinho

  • Regra do produto a ⋅ b ' = a ' b + b ' a
  • Regra da cadeia ( f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

Vamo pra nossa função!

∂ f ∂ y x y e y 2

Pela regra do produto (e tirando a constante x), ficamos com

x y ' ⋅ e y 2 + e y 2 ' ⋅ y

Show pra derivar y   é de boinhas e para derivas e y 2 vamos usar a regra da cadeia, ficando com

x 1 ⋅ e y 2 + 2 y e y 2 ⋅ y

Isso nos dá

= x e y 2 + 2 y x y e y 2

Podemos juntar os y e somar os expoentes!

= x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

Passo 3

Agora vamos para as derivadas segundas.

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

De novo, essa foi easy game, né?

Já para fazer a segunda derivada em relação a y vamos de novo ter que usar regra do produto e da cadeia.

∂ 2 ∂ y 2 x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

Lembrando que tudo que não tem y é constanteeeeee! Temos, usando o mesmo caminho do passo anterior que isso dá

= 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 2 y 2 x y 2 e y 2

Ajeitando isso daí ficamos com:

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 4 x y 3 e y 2

Passo 4

Beleza, mas ainda não acabaram as nossas derivadas segundas, não é mesmo?

Ainda faltam as derivadas parciais mistas.

Vamos lá.

Como a questão pediu pra gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos calcular as duas derivadas parciais mista da nossa função.

Vamos começar pegando a derivada parcial em relação a x e derivando em relação a y :

∂ f ∂ x = y e y 2

Regra do produto + regra da cadeia:

∂ 2 ∂ y ∂ x y e y 2

= 1 . e y 2 + 2 y y e y 2

Ajeitando isso daí,

= e y 2 + 2 y 2 e y 2  

Show.

Agora vamos fazer o contrário: pegar a derivada parcial em relação a y e derivar em relação a x :

∂ f ∂ y = x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

∂ 2 ∂ x ∂ y x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

Derivando em relação a x

= e y 2 + 2 y 2 e y 2  

Resposta

∂ f ∂ x = y e y 2

∂ f ∂ y = x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 4 x y 3 e y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

∂ 2 f ∂ x ∂ y = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

Exercício Resolvido #10

Elaboração Própria

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

f x , y = e x y + x ln ⁡ y 2

Passo 1

Opa, tudo bom? Vamos continuar estudando pra gente aprender tudinho!!

Vamos começar calculando ∂ f ∂ x

Teremos que usar a regra da cadeia para e x y , que é desse jeitão aqui

f g x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y + 1 ⋅ ln ⁡ y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Aplicando a Regra da cadeia:

∂ f ∂ y = e x y ⋅ ∂ ∂ y x y + x ⋅ 1 y 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 + x ⋅ 1 y 2 ⋅ 2 y

Multiplicando isso tudo, ficamos com:

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y y 2

⇒ ∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

Passo 3

Show, achamos as derivadas de primeira ordem, agora vamos para derivada mista de segunda ordem, a famoooosa ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - x y 2 e x y + 2 x y

Estamos derivando em relação a x !

Vamos precisar fazer a regra do produto para - x y 2 e x y que é desse jeitão aqui

a ⋅ b = a ' ⋅ b + b ' ⋅ a

Isso dá pra gente

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 ⋅ e x y + - x y 2 ⋅ e x y ⋅ 1 y ⏟ REGRA DO PRODUTO + 2 y

Então ficamos com:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

Ajeitando isso daí, temos:

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Passo 4

De maneira alternativa, podemos também calcular a derivada mista da seguinte maneira:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 y e x y + ln ⁡ y 2

Derivando agora, em relação a y !

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 ⋅ e x y + 1 y ⋅ e x y ⋅ - x y 2 ⏟ REGRA DO PRODUTO + 1 y 2 ⋅ 2 y

Então, temos

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Como esperado, o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y