Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Vetor Gradiente e Derivada Direcional

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente da função

f x , y =   x 2 + 3 x y

Passo 1

Oiee! Tudo certinho? Vamos começar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y =   f x ,   f y

Vou usar essa segunda notação aqui, mas você pode escrever como achar melhor 😊

Passo 2

Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais!

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 x + 3 x y x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = x 2 x + 3 y x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 x + 3 y ⋅ 1

f x = 2 x + 3 y

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação a y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 y + 3 x y y

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f y = x 2 1 x + 3 x y y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 ⋅ ( 0 ) + 3 x ⋅ 1

f y = 0 + 3 x ⋅ ( 1 )

f y = 3 x

Passo 4

Então nosso vetor gradiente que é da forma ∇ f x , y =   f x ,   f y

Fica assim

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Resposta

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Calcule:

  1. ∇ f + g
  2. ∇ f - g

Passo 1

Faaala ai beleza?

Essa questãozinha é bem legal pra gente falar de algumas propriedades do vetor gradiente, são essas duas aqui:

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

∇ f + g = ∇ f - ∇ g

Passo 2

A letra a ) pede pra gente ∇ f + g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa soma, vamos somar os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 + 2 + 4 y   ,   - 3 z + 4 x + 3 ,   4 - 3 y + 1

Então ficamos com

∇ f + g = ( x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3 , 5 - 3 y )

Passo 3

Agora a letra b ) pede pra gente ∇ f - g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa subtração, vamos diminuir os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 - 2 + 4 y   ,   - 3 z - 4 x + 3 ,   4 - 3 y - 1

Muito cuidado aqui com os sinais ta bom? Fica assim ó:

( x + 1 - 2 - 4 y , - 3 z - 4 x - 3,4 - 3 y - 1 )

Então ficamos com

∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

Resposta

  1. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  2. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Exercício Resolvido #3

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

Passo 1

Olaaa! Belezinha? Vamos continuar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas é bom se familiarizar com as duas opções porque pode aparecer qualquer um dos casos

Passo 2

Então agora vamos precisar fazer 3 derivadas parciais, mas não se preocupa que vai dar bom hehe

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = 2 x x + 4 x y x + x z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 2 x x + 4 y x x + z x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 ⋅ 1 + 4 y 1 + z ( 1 )

f x = 2 + 4 y + z

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = 2 x y + 4 x y y + x z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = 2 x 1 y + 4 x y y + x z 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = 2 x 0 + 4 x ( 1 ) + x z ( 0 )

f y = 0 + 4 x + 0

f y = 4 x

Passo 4

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

f z = 2 x z + 4 x y z + x z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = 2 x 1 z + 4 x y 1 z + x z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = 2 x 0 + 4 x y ( 0 ) + x ( 1 )

f z = 0 + 0 + x

f z = x

Passo 5

Ufa! Conseguimos uhul

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = 2 + 4 y + z

f y = 4 x

f z = x

Temos que

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, fica a sua escolha

Passo 2

Primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

O que a gente vai fazer é passar o 3 z pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x y z x + x 3 x + y 3 x + z 3 x - 3 z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = y z x x + x 3 x + y 3 1 x + z 3 1 x - 3 z 1 x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = y z ( 1 ) + 3 x 2 + y 3 ( 0 ) + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

Então temos que

f x = y z + 3 x 2

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x y z y + x 3 y + y 3 y + z 3 y - 3 z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x z y y + x 3 ( 1 ) y + y 3 y + z 3 ( 1 ) y - 3 z ( 1 ) y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x z ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + 3 y 2 + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

f y = x z + 0 + 3 y 2 + 0 - 0

f y = x z + 3 y 2

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

f z = x y z z + x 3 z + y 3 z + z 3 z - 3 z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x y z z + x 3 ( 1 ) z + y 3 1 z + z 3 z - 3 z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x y ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + y 3 ( 0 ) + 3 z 2 - 3 ( 1 )

f z = x y + 0 + 0 + 3 z 2 - 3

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = y z + 3 x 2

f y = x z + 3 y 2

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Temos que

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 7

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #5

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, você que escolhe 😊

Passo 2

A primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

O que a gente vai fazer é passar o x pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 4 x + y 2 9 x - z 2 x - x x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 1 4 x 2 x + y 2 9 1 x - z 2 1 x - x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 1 4 2 x + y 2 9 0 - z 2 ( 0 ) - ( 1 )

Podemos simplificar esse 2 x com 4 e ficamos com

f x = x 2 + 0 - 0 - 1

f x = x 2 - 1

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 4 y + y 2 9 y - z 2 y - x y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x 2 4 1 y + 1 9 y 2 y - z 2 1 y - x 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 4 ( 0 ) + 1 9 2 y - z 2 ( 0 ) - x ( 0 )

f y = 0 + 2 y 9 - 0 - 0

f y = 2 y 9

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

f z = x 2 4 z + y 2 9 z - z 2 z - x z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x 2 4 1 z + y 2 9 1 z - z 2 z - x   1 z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x 2 4 ( 0 ) + y 2 9 ( 0 ) - 2 z - x   ( 0 )

f z = 0 + 0 - 2 z + 0

f z = - 2 z  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = x 2 - 1

f y = 2 y 9

f z = - 2 z  

Temos que

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #6

=Elaboração própria

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 1

E aiii! Vamos continuar nosso estudo?

A nossa questão pede, na letra a ) , que a gente ache a direção na qual a taxa de variação no ponto P é máxima, para isso a gente precisa calcular o nosso vetor gradiente no ponto P

A gente já viu que o vetor gradiente é desse jeitão aqui

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou pode ser escrito assim

∇ f x , y = f x , f y

Passo 2

Show, vamos começar calculando esse vetor gradiente, temos que a nossa função é

f x , y = x 2 + y 2 - y  

Vamos calcular

f x   e   f y

A gente calcula f x fazendo a derivada em relação a x , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então temos:

f x = ∂ ( x 2 + y 2 - y ) ∂ x

Como y 2 - y é considerado uma constante aqui, podemos dizer que

f x = 2 x

Passo 3

Beleza, agora vamos partir pra cima do f y

A gente calcula f y fazendo a derivada em relação a y , então todo o resto pode ser considerado uma constante, então ficamos com

f y = ∂ ( x 2 + y 2 - y ) ∂ y

Como x 2 é considerado uma constante aqui, podemos dizer que

f y = 2 y - 1

Tranquilinho?

Passo 4

Agora que achamos f x   e f y , temos que o nosso vetor gradiente que é escrito assim

∇ f x , y = f x , f y

Vale

∇ f x , y = 2 x , 2 y - 1

Mas ele não quer só o vetor gradiente, ele quer o vetor gradiente no ponto P , que é ninguém mais ninguém menos que

P = ( 1,1 )

Que ele deu no enunciado, ou seja ele quer isso aqui

∇ f 1,1

E para isso é só substituirmos x = 1 e y = 1 no nosso vetor gradiente

∇ f 1 , 1 = 2 ( 1 ) , 2 ( 1 ) - 1

∇ f 1,1 = 2,1

Que é a mesma coisa que dizer:

∇ f P = 2,1

Passo 5

Vamos partir pra letra b), que pede o valor dessa taxa de varação máxima

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, ou seja,

∇ f x , y = f x 2 + f y 2

Então, como já achamos que temos que

∇ f P = ( 2,1 )

∇ f P = 2,1 = 2 2 + 1 2 = 5

Resposta

a) Na direção do vetor 2 ,   1 .

b) A taxa máxima é 5 .

Exercício Resolvido #7

Derivadas direcionais

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Opa, fala aii tranquilinho??

Vamos começar calculando módulo do vetor v , e como eu calculo isso você deve tá se perguntando?

Bom o modulo de um vetor v = ( x , y , z ) é desse jeitinho aqui

v = x 2 + y 2 + z 2

Então para o nosso vetor v = ( 2,2 , 1 ) temos que o modulo é:

v = 2 2 + 2 2 + 1 2

⇒ v = 4 + 4 + 1

⇒ v = 9

⇒ v = 3

Passo 2

Agora, vamos calcular vetor gradiente:

O vetor gradiente é calculado fazendo as derivadas parciais:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

A nossa função é

f x , y , z = x y + y 2 z

∂ ∂ x ( x y + y 2 z ) = y

∂ f ∂ y x y + y 2 z = x + 2 y z

∂ f ∂ z x y + y 2 z = y 2

Colocando no nosso vetor gradiente, temos que

⇒ ∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P :

∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Agora vamos substituir x , y , z   por 7 , - 2,1 que é nosso ponto P

∇ f P = ∇ f 7 , - 2,1

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 + 2 - 2 1 ,   - 2 2

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 - 4 ,   4

⇒ ∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

Passo 4

Calcular derivada direcional, que é feita desse jeitinho aqui

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

Juntando as informações que temos:

∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

v = 2,2 , 1

v   = 3

Ficamos com:

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1 3

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1

Agora, fazendo esse produtinho, ficamos com

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2 2 + 3 2 + 4 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 4 + 6 + 4

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 6

⇒ ∂ f ∂ v P = 2

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 1

Opa fala aii, tranquilinho?Vamos partir pra cima, começando pela letra a)

A taxa de variação de f é máxima na direção do vetor ∇ f P . Então vamos calcular esse gradiente, pra isso vamos calcular as derivadas parciais:

f x x , y = 2 x

f y x , y = 2 y - 1

Então nosso vetor gradiente é

∇ f x , y = ( 2 x , 2 y - 1 )

Para o ponto P ( 1,1 ) temos

⇒ ∇ f P = 2 ,   2 - 1 = 2 ,   1

Então f cresce mais rápido na direção do vetor 2 ,   1 .

Passo 2

Shoow, matamos a letra a), vamos partir pra b) agora

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, e esse modulo é calculado desse jeitão aqui

∇ f x , y = x 2 + y 2

Entao para nosso ∇ f P , temos:

∇ f P = 2,1 = 2 2 + 1 2 = 5

Resposta

a) Na direção do vetor 2 ,   1 .

b) A taxa máxima é 5 .

Exercício Resolvido #9

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 3

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Passo 1

Olaaaa, vamos seguir com nossos estudos que jájá estamos acabando essa matéria, então vem comigoooo!

Bom, o crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente.

Então para que f u 1 ,   1 2 seja máxima o vetor u tem que estar na mesma direção e sentido de ∇ f 1 , 1 2 .

Então vamos calcular esse gradiente! Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais,

∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ x x 2 s e n π x y

Opa, vamos ter que usar a regra do produto derivando em relação a x , lembrando a regra do produto aqui rapidinho, temos que

a ⋅ b ' = a ' ⋅ b + b ' ⋅ a

x 2 s e n π x y ' = x 2 ' ⋅ s e n π x y + s e n π x y ' ⋅ x 2

Fazendo essas derivadas (usando a regra da cadeia), temos:

∂ f ∂ x x , y = 2 x . sen ⁡ π x y + x 2 . cos ⁡ ( π x y ) . π y

Agora, substituindo os valores que é dado no enunciado, temos:

⇒   ∂ f ∂ x 1 , 1 2 = 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 . π 2 = 2.1 + 0 = 2

Show, vamos segurar esse resultado e partir para derivada em relação a y

Também temos:

∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ y x 2 s e n π x y

Pra resolver essa derivada, vamos usar a regra da cadeia de novo, ficando com

x 2 . cos ⁡ π x y . π x = π x ³ c o s ⁡ ( π x y )

Show, substituindo pelo ponto do enunciado, temos:

⇒   ∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π 1 3 cos ⁡ π 2

∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π ⋅ 0 = 0

Logo:

∇ f 1 , 1 2 = 2,0

Passo 2

Portanto, o vetor u tem que ser paralelo ao vetor 2,0 . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo x !

Mas o vetor 2,0 é paralelo ao eixo x :

Ou seja, o ângulo entre o vetor 2,0 e o eixo x é 0 o .

Então o vetor u também vai ter que formar um ângulo de 0 o com o eixo x .

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #10

Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2

A derivada direcional de f ( x , y , z ) num ponto P é maior na direção e sentido de v → = ( 2,2 , - 2 ) . Nessa direção o valor da derivada é 48 . Qual é o gradiente de f em P ?

(a) 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

(b) ( 1,1 , - 1 )

(c) 2 2 , 2 2 , - 2 2

(d) ( 4,4 , - 4 )

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Opaaa, fala aii! Reta final de derivadas direcionais, então simboraa!

Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:

∂ f ∂ v → = ∇ f P ⋅ v → v →

E ele nos deu ∂ f ∂ v → = 48 . Logo,

∇ f P ⋅ v → v → = 48

Então só falta calcular seu módulo, lembrando que o modulo é desse jeitinho aqui, para um vetor v ( x , y , z ) temos:

v → = x 2 + y 2 + z 2

Agora para nosso vetor v = ( 2,2 , - 2 ) , ficamos com

v → = 2 2 + 2 2 + - 2 2 = 12

Passo 2

Show, calculamos o vetor, agora na nossa fórmula, ficamos com:

∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 12 = 48

Só que podemos escrever 48   como 4 ⋅ 12

⇒ ∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 1 12   = 4 12

Que é a mesma coisa que

⇒ ∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 1 12   = 2 12

Multiplicando por 12 dos 2 lados:

∇ f P ⋅ 2,2 , - 2 = 2 12

⇒ ∇ f P ⋅ v → = 24

Passo 3

Agora tem que ficar atento no enunciado!

Ele disse que a derivada direcional é maior na direção e sentido de v → , e isso é uma característica do gradiente (a função cresce o mais rápido no sentido do gradiente).

Isso significa que ∇ f ( P ) e v → são paralelos, então o ângulo entre eles é zero. E por que eu disse isso? Pra gente aproveitar das propriedades do produto escalar!

O produto escalar de 2 vetores é o produto dos módulos dos vetores vezes o cosseno do ângulo entre eles, logo:

∇ f P ⋅ v → = ∇ f P v → cos ⁡ 0

⇒   ∇ f P ⋅ v → = ∇ f P v →

Passo 4

Achamos no passo 2 que

∇ f P ⋅ v → = 24

Lembrando que v = 12 , vamos ter:

⇒   ∇ f P 12 = 2 ( 12 )

⇒   ∇ f P = 2 12 12

Multiplicando em cima e embaixo por 12 ,   temos

= 2 12 ⋅ 12 12 ⋅ 12

Como 12 ⋅ 12 = 12 , ficamos com

= 2 12

= 2 v →

Show! Achamos que o gradiente é 2 vezes maior que v → , e já sabemos que eles têm a mesma direção e sentido, então

∇ f P = 2 v →

∇ f P = ( 4,4 , - 4 )

Resposta

Alternativa (d)