15. Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam T 1 = T 1 t e T 2 = T 2 t as temperaturas no instante   t , nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas

d T 1 d t = 4 T 1 - 4 T 2 d T 2 d t = 5 T 1 - 4 T 2

Suponha que T 1 0 = 20 e T 2 0 = 20 . (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos)

A- Mostre que as temperaturas estão variando periodicamente com tempo.

B - Determine T 1 = T 1 t e T 2 = T 2 t .

C - Determine as temperaturas máxima e mínima no ambiente 2 .

D - Determine a trajetória descrita pelo ponto T 1 t ,   T 2 t .

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa! As soluções vão variar periodicamente se elas envolverem seno e cosseno. Para isso acontecer, os autovalores da matriz de coeficientes devem ser imaginários! Matematicamente falando, aqui está a Matriz de coeficientes:

A = 4 - 4 5 - 4

Os Autovalores λ dela são encontrados assim:

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ 4 - λ - 4 5 - 4 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

4 - λ - 4 - λ - - 4 5 = 0     →

- 16 - 4 λ + 4 λ + λ 2 + 20 = 0     →

λ 2 + 4 = 0     →

λ = ± - 4 =

± 2 - 1

Ora, - 1 = i (o número imaginário) então...

λ = ± 2 i

Ou seja, de fato estamos lidando com autovalores complexos, logo a solução será periódica!

Passo 2

L e t r a   B :

A solução de um sistema de EDO com λ imaginário é:

T 1 T 2 = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

T 2 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

Ora, a e b vem do autovalor complexo:

λ = a ± b i

No nosso caso:

λ = ± 2 i             →                 a = 0             e         b = 2

Portanto...

T 1 = α → cos ⁡ 2 t - β → sin ⁡ 2 t

T 2 = α → sin ⁡ 2 t + β → cos ⁡ 2 t

α → e β → vem do autovetor v → complexo ( α → é a parte real e β → o imaginário). Vamos então determinar esse autovetor v → !

Passo 3

Os autovetores podem ser calculados assim:

A - λ I v = 0

Então para o λ 1 = 2 i teremos v 1 de coordenadas desconhecidas complexas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

4 - λ 1 - 4 5 - 4 - λ 1 a b = 0         →

4 - 2 i - 4 5 - 4 - 2 i a b = 0         →

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

4 - 2 i a - 4 b = 0   →

- 4 b = - 4 - 2 i a     →

b = 4 - 2 i 4 a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = 4 - 2 i 4   →

b = 1 - 1 2 i  

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 1 - 1 2 i

Lembre-se que você pode pegar outro valor para a , desde que b seja b = 4 - 2 i 4 a   está valendo!

Aqui não precisa encontrar v 2 para o autovalor λ 2 = - 2 i , pois só com o v 1 , já podemos falar quem é α → e quem é β → . Rescrevendo o vetor em parte real e imaginária...

v 1 = 1 1 - 1 2 i = 1 1 + 0 - 1 2 i

Então...

α → = 1 1                 e                       β → = 0 - 1 2

Passo 4

Com isso podemos retornar para os valores de T 1 e T 2 ...

T 1 = α → cos ⁡ 2 t - β → sin ⁡ 2 t

T 2 = α → sin ⁡ 2 t + β → cos ⁡ 2 t

E substituir:

T 1 = 1 1 cos ⁡ 2 t - 0 - 1 2 sin ⁡ 2 t

T 2 = 1 1 sin ⁡ 2 t + 0 - 1 2 cos ⁡ 2 t

Então a solução será...

T 1 T 2 = c 1 T 1 + c 2 T 2         →

T 1 T 2 = c 1 1 1 cos ⁡ 2 t - 0 - 1 2 sin ⁡ 2 t + c 2 1 1 sin ⁡ 2 t + 0 - 1 2 cos ⁡ 2 t     →

T 1 T 2 = c 1 1 1 cos ⁡ 2 t - c 1 0 - 1 2 sin ⁡ 2 t + c 2 1 1 sin ⁡ 2 t + c 2 0 - 1 2 cos ⁡ 2 t     →

Juntando tudo vamos obter o seguinte...

T 1 = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t   T 2 = c 1 cos ⁡ 2 t + c 1 2 sin ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t - c 2 2 cos ⁡ 2 t

Para determinar c 1 e c 2 , podemos usar o fato de que T 1 0 = 20 e T 2 0 = 20 :

T 1 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0   T 2 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 1 2 sin ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0 - c 2 2 cos ⁡ 0     →

20 = c 1   20 = c 1 - c 2 2     →

Então...

c 2 = 0

T 1 = 20 cos ⁡ 2 t   T 2 = 20 cos ⁡ 2 t + 10 sin ⁡ 2 t

Passo 5

L e t r a   C :

Ora, a temperatura T 2 vai ser máxima no ponto onde sua derivada for nula, lembra? (basicamente estamos encontrando os pontos críticos)

d T 2 d t = 0             →

Derivando T 2 então...

d d t 20 cos ⁡ 2 t + 10 sin ⁡ 2 t = 0     →

- 20 sin ⁡ 2 t ⋅ 2 + 10 cos ⁡ 2 t ⋅ 2 = 0     →

- 40 sin ⁡ 2 t + 20 cos ⁡ 2 t = 0     →

Jogando esse seno para o outro lado...

+ 20 cos ⁡ 2 t = 40 sin ⁡ 2 t   →

20 40 = sin ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t         →

tan ⁡ 2 t = 1 2

Quem é 2 t então? ISSO! 2 t = n 180 ° + 45 ° onde n é um número inteiro! Ou seja, para n = 0 Então...

2 t = 45 ° = π 4

E para n = 1

2 t = 180 + 45 ° = 5 π 4

E o valor de maior temperatura será:

T 2 = 20 cos ⁡ π 4 + 10 sin ⁡ π 4 →

T 2 = 20 2 2 + 1 0 2 2   →

T 2 = 15 2   ° C

O de menor temperatura será...

T 2 = 20 cos ⁡ 5 π 4 + 10 sin ⁡ 5 π 4   →

T 2 = - 20 2 2 - 10 2 2   →

T 2 = - 15 2  

Passo 6

L e t r a   D :

Poxa! Aqui temos uma questão de Retrato de fase! Afinal, queremos desenhar a trajetória de T 2 !

Sabemos que quando o λ é imaginário, com o a = 0 , as trajetórias serão elipses centrada na origem:

No nosso caso, teremos uma única elipse, pois sabemos que o T 2 é particular!

T 2 = 20 cos ⁡ 2 t + 10 sin ⁡ 2 t

Ele tem um valor máximo de temperatura T 2 = 15 2 e um mínimo de - 15 2 , o que sugere que a nossa elipse tem um eixo maior de 30 2 :

Além disso, a nossa elipse tem esse eixo maior para T 2 quando 2 t = 45 ° , ou quando t = 22,5 ° :

Resposta

Letra A: Autovalores complexos.

Letra B:

T 1 = 20 cos ⁡ 2 t   T 2 = 20 cos ⁡ 2 t + 10 sin ⁡ 2 t

Letra C: Temperatura Máxima é - 15 2 ° C e mínima de - 15 2 ° C .

Letra D:

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