3 - Considere o sistema
Seja , e a solução que satisfaz as condições iniciais , e . Mostre que
A -
B - Se , então
Passo 1
A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!
Montando a matriz dos coeficientes baseado no sistema então, obteremos:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?
Simplificando isso aí...
Essa equação só pode ser quando...
Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e único...
- Para que é real e único...
- Para o que é real e único também:
Onde , e são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:
Partiu calcular esses autovetores agora?
Passo 3
AUTOVETOR 1:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo por e somando com a de cima, conseguiremos...
Então...
Se escolhermos ...
Passo 4
AUTOVETOR 2:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas últimas equações, multiplicando a segunda por e somando com a terceira...
Então...
Se escolhermos ...
Passo 5
AUTOVETOR 3:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas últimas primeiras...
Então...
Se escolhermos ...
Passo 6
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão:
Ou em forma de chaves...
Passo 7
Letra A:
Temos que provar que isso aqui acontece:
Se multiplicarmos a primeira equação por e somarmos a segunda equação...
Agora multiplicando a última e somando a segunda...
Logo, podemos falar que:
E, portanto, a solução será:
Veja que de fato, quando vai para o infinito, cada uma dessas coordenadas vão a , de modo que:
Passo 8
Agora temos que provar que:
Se , então
Bem, para isso acontecer, o elemento da resposta que tem a exponencial positiva (tanto quanto , devem ser diferentes de :
Ora, se não pertence a , isso significa que , e não são iguais. Vamos analisar caso por caso
Primeiro caso: .
Das duas primeiras equações...
Substituindo na terceira:
E agora retornando para a primeira...
Veja que e são diferentes, logo será diferente de e aí aquele limite vai ser atendido!
Segundo caso: .
Das duas primeiras equações...
Substituindo na terceira e na segunda:
Subtraindo essas duas...
Novamente veja que e são diferentes, logo será diferente de e aí aquele limite vai ser atendido!
E o último caso onde todo mundo é diferente:
É um caso especial de
Logo, existirá e tornando as exponenciais positivas maiores que a exponencial negativa.
Resposta
Questão de demonstração.