1.Prove que as séries abaixo são convergentes para todo x , com s e n x 2 ≠ 0 .

a) ∑ k = 1 ∞ s e n k x k  

Passo 1

Consideremos as sequências a k = 1 k   e   b k = s e n   k x .

Temos

s e n   x + s e n   2 x + … + s e n   k x = cos ⁡ x 2 - cos ⁡ k + 1 2 x 2 s e n x 2   ( v e j a   o   E x e m p l o   3 )

Ou seja

s e n   x + s e n   2 x + … + s e n   k x = s e n   k + 1 2 x s e n k 2 x s e n x 2

(pois cos ⁡ a - cos ⁡ b = 2 s e n   a + b 2 s e n b - a 2 ) .

Passo 2

Para x ≠ 2 n π   t e m o s

s e n   x + s e n   2 x + … + s e n   k x ≤ 1 s e n x 2     s e n x 2 ≠ 0

Logo, as sequencias a k = 1 k   e   b k = s e n   k x satisfazem as condições do critério de Dirichlet e , portanto, a série ∑ k = 1 ∞ s e n k x k é convergente.

Resposta

Demonstração.

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