1.Verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo dado.

d) ∑ k = 1 ∞ x k 2 k + 1   e m   - r , r ,       0 < r < 1  

Passo 1

Para todo x ∈ [ - r , r ] , temos x ≤ r . Logo, para todo x ∈ [ - r , r ] e para todo natural k ≥ 1 , temos

x k 2 k + 1 ≤ r k 2 k + 1 = a k

Temos

L = lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = lim k → ∞ ⁡ r k + 1 2 k + 3 . 2 k + 1 r k = lim k → ∞ ⁡ 2 k + 1 2 k + 3 . r = r < 1

Como L < 1 , a série numérica ∑ k = 1 ∞ r k 2 k + 1 é convergente.

Nestas condições, pelo critério M de Weierstrass, a série ∑ k = 1 ∞ r k 2 k + 1 converge uniformemente em [ - r , r ] , para todo 0 < r < 1 .

Resposta

Verificação em texto.

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