C - (x^2 - 1) y^(' ') + y ' = 0 , - 1 < x < 1

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u^' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

(x^2 - 1) y^(' ') + y^' = 0 ->

(x^2 - 1) u ' + u = 0 ->

Como x está entre - 1 e 1 , (x^2 - 1) não assume valor 0 , então...

u ' + (1)/(x^2 - 1) u = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e^(- int (1)/(x^2 - 1) d x)

Passo 2

Vamos integrar então!

int (1)/(x^2 - 1) d x

Separando x^2 - 1 em (x + 1) (x - 1) ...

int (1)/((x + 1) (x - 1)) d x

Separando em frações parciais:

int (1)/((x + 1) (x - 1)) d x = int (- (1)/(2))/((x + 1)) + ((1)/(2))/((x - 1)) d x =

- (1)/(2) int (1)/((x + 1)) d x + (1)/(2) int (1)/((x - 1)) d x

Então...

int (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) ln (x + 1) + (1)/(2) ln (x - 1) + C

int (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) (ln (x + 1) - ln (x - 1)) + C

int (1)/(x^2 - 1) d x = - (1)/(2) ln ((x + 1)/(x - 1)) + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e^(- (- (1)/(2) ln ((x + 1)/(x - 1)))) ->

u = A e^((1)/(2) ln ((x + 1)/(x - 1))) ->

u = A e^(ln ((x + 1)/(x - 1))^(1 // 2)) ->

u = A ((x + 1)/(x - 1))^(1 // 2) ->

u = A ((sqrt(x + 1))/(sqrt(x - 1)))

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y^' = u ->

y = int A ((sqrt(x + 1))/(sqrt(x - 1))) d x ->

Integrando então com o auxilio do WolframAlpha ...

y = A int ((sqrt(x^2 - 1))/(x - 1)) d x

y = A ((sqrt((x + 1)/(x - 1)) (sqrt(x + 1) (x - 1) + 2 sqrt(x - 1) sinh^(- 1) ((sqrt(x - 1))/(sqrt(2)))))/(sqrt(x + 1))) + B

Resposta

y = A ((sqrt((x + 1)/(x - 1)) (sqrt(x + 1) (x - 1) + 2 sqrt(x - 1) sinh^(- 1) ((sqrt(x - 1))/(sqrt(2)))))/(sqrt(x + 1))) + B

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