5. Sejam y = f x e y = g x , x ∈ I soluções da equação

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Onde p e q são supostas contínuas em I . Suponha que f ' x 0 = g ' x 0 = 0 e g x 0 ≠ 0 para algum x 0 ∈ I . Prove que existe um real α tal que para todo x ∈ I , f x = α g x .

SUGESTÃO: Tome α tal que f x 0 = α g x 0 . Aplique o exemplo 2 à solução h x = f x - α g x .

Passo 1

AFFF! Lá vem exercício de teoria, né? Mas não desista, você pode! Venha comigo, então...

Se f x   é solução, e g x também é, sendo α um número real, podemos falar que h x também é solução, de forma que:

h x = f x - α g x   →

POXA! Temos que provar que:

f x = α g x

O que dá no mesmo que provar que:

h x = 0

Essa função h x = 0 é maravilhosa, pois independente do x , ela é 0 , bem como a sua derivada! Então, para x 0 , podemos afirmar que:

h x 0 = 0               e                   h ' x 0 = 0

Passo 2

Por outro lado, se tomarmos...

  h x = f x - α g x   →

h ' x = f ' x - α g ' x   →

Como... f ' x 0 = g ' x 0 = 0 , então...

h ' x 0 = 0

Se considerarmos que existe um α tal que f x 0 = α g x 0 , então...

0 = f ' x 0 - α g ' x 0 =

h x 0

Então pronto! h x = 0 é de fato uma solução do nosso problema, e portanto existe algum α que faça:

h x = f x - α g x     →

f x = α g x

Resposta

Questão de demonstração.

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