Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 38
Ache a área da região limitada pela curva , pelo eixo x e elas retas e
Passo 1
Faala ae, beleza??
Geralmente fazemos os gráficos da função para assim, encontrar a área pedida, não é mesmo? Mas você consegue fazer o gráfico dessa função ? Acredito que não, pelo menos sem software gráfico.
Mas já sabemos que quando queremos encontrar a área é só integrar a função dada no intervalo dado do problema, certo??
Bom, se olharmos o enunciado de novo, ele nos pede para calcular a área entre , o eixo e as retas e , que são duas retas verticais!
Então, sabemos que vamos integrar a função com variando entre e , certo?? Ou seja:
Passo 2
Para isso, devemos usar integral por partes. Onde, pelo LIATE, e e usaremos isso na fórmula:
Por conta dessa fórmula, vamos calcular a integral indefinida primeiro e, no final, substituir os limites de integração no resultado, beleza? Relaxa, que você vai entender melhor ao longo da resolução!
Então, vamos achar todos esses termos da fórmula:
Derivando:
Por outro lado:
Integrando:
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Devemos calcular a integral indefinida:
Para calcular, fazemos:
Então:
Resolvemos com uma substituição simples, essa aqui ó:
Certo? Então substituímos na integral:
Voltando para , temos:
Beleza?
Passo 4
Agora, voltamos para a integral principal:
Agora sim, vamos aplicar os intervalos:
Substituindo os limites: