Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 81
Use a Lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura de um corpo num ambiente onde a temperatura é , se 30 min atrás a temperatura do corpo era e 10 min atrás era de .
Passo 1
Pra resolver esse exercício, temos que usar a Lei do resfriamento de Newton, que tem essa cara aqui:
Onde K é uma constante e para todo .
As informações contidas no enunciado vão nos ajudar a escrever as condições de contorno corretas!
Queremos então T quando . Bora calcular!
Passo 2
Rescrevendo a equação na forma mais comum de uma equação diferencial:
Podemos observar que trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, e que pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante.
Assim, o fator integrante para a mesma é:
Passo 3
Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante teremos:
Integrando ambos os membros da equação obtemos:
Passo 4
Aplicando as condições de contorno fornecida no enunciado temos:
Quando , :
Quando , :
Aplicando ln dos dois lados:
Assim, podemos escrever :
Passo 5
Pronto, agora que temos a expressão para a temperatura em função do tempo é só substituir pras condições que o problema pediu pra gente!
Queremos a partir do momento que o corpo começou a resfriar:
Logo, após 30 min a temperatura do corpo será .