Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.6 - Ex. 27
Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função . Em cada caso, determine e identifique o domínio e a imagem de . Para conferir, mostre que .
27.
Passo 1
Para fazermos a inversa de uma função, assim como discutido na seção 6 do George, devemos escrever uma função , isto é, isolar a variável na função (supondo que seja a nossa variável) e em seguida trocar as variáveis para escrevermos a inversa na forma convencional, que é , tranquilo? Sei que parece um bixo de 7 cabeças, mas prometo que não é. Vamos devagarinho que tudo vai fazer sentido, ok? Show!
Passo 2
A nossa função é , certo? Isolando na equação, teremos:
E o que encontramos aqui é uma função . Agora que encontramos a função , só devemos inverter as variáveis para escrevermos a função na forma convencional, que é . Sendo assim, a inversa da será:
Passo 3
Quanto ao domínio e imagem galera, temos que: seja o domínio de uma função e a imagem dessa mesma função, isso implica que o domínio da passará a ser e a imagem da passará a ser . Em outras palavras, as coisas só se invertem!
Determinando o domínio de : nessa função podemos substituir qualquer valor de , sem restrição alguma, não é mesmo? Sendo assim, podemos concluir que a nossa função admite TODOS os valores possíveis de . Logo:
Domínio de
Determinando a imagem de : como o nosso domínio admite qualquer valor de , então é natural pensarmos que a imagem da nossa função também admitirá qualquer valor de , certo? Logo:
Imagem de
Agora que determinamos o domínio e a imagem da nossa , para determinarmos o domínio e a imagem de basta invertermos os resultados, se liga:
Domínio de
Imagem de
Note que inverter não fez nenhuma diferença nesse caso porque a imagem coincidiu com o domínio, mas a princípio basta fazermos essa inversão e pronto, ok? Show!
Passo 4
Agora que encontramos tudo que precisava, só para a finalização vamos provar que, de fato, a inversa que encontramos é, realmente, inversa!
Inversa dentro da função;
Função dentro da inversa.
Opa, a primeira deu bom! Agora para a segunda:
E a segunda também deu bom! Dessa forma, concluímos que:
Como o enunciado nos pediu. Portanto, conferimos que, de fato, a inversa que encontramos está correta!
Resposta
Domínio de
Imagem de