Para cada natural n ≥ 1 , seja A n o círculo x 2 + y 2 ≤ n 2 . Prove que é convergente a sequencia de termo geral

a n = ∫ ∫ A n e - x 2 + y 2 2 d x d y

Passo 1

Então galerinha, neste problema nós estamos falando de um círculo, então:

x 2 + y 2 = p

Mudando nossas variáveis:

∫ ∫ A n e - x 2 + y 2 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 n e - p 2 p . d p . d θ

Resolvendo nossa integral por substituição:

u = - p 2

d u = - 2 p d p →   - d u 2 = p . d p

Então:

∫ 0 2 π ∫ 0 n e u - d u 2 . d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π e - p 2 n 0 d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π e - n 2 - 1 d θ

= 1 - e - n 2 2 ∫ 0 2 π d θ = 1 - e - n 2 2 θ 2 π 0 = π ( 1 - e - n 2 )

Sendo assim:

lim n → + ∞ ⁡ a n = lim n → + ∞ ⁡ π - π e n 2 = π

Portanto, a série é convergente !!

E é só isso galerinha !!

Resposta

C o n v e r g e n t e   ‼

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