6. Para cada n ≥ 1 , seja f n x = n x 1 + n 2 x 4 . Considere a função f dada por

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x )

  1. Esboce os gráficos de f e das f n .
  2. f n converge uniformemente a f em 0,1 ? Justifique.
  3. Verifique que

∫ 0 1 ( lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) ) d x ≠ lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 f n x d x

Passo 1

Letra (a)

f x = lim n → ⁡ f n ( x ) = lim n → ∞ ⁡ n x 1 + n 2 x 4 = 0

O esboço pedido por ser representado por:

Passo 2

Letra (b)

O valor máximo de f n ( x ) em [ 0,1 ] é 3 4 n 2 3 4 e ocorre para x = 1 3 n 2 4 ,   n ≥ 1 ;

x = 1 3 n 2 4 pertence a 0,1   e 3 4 n 2 3 4 tende a quando n tende ao infinito. Assim , marcando uma faixa em torno do gráfico de f ,   0 ≤ x ≤ 1 , de amplitude 2 ε ,   ε > 0 , sempre existe uma f n cujo gráfico sai da faixa. Então, f n não converge uniformemente a f em 0,1 .

Passo 3

Letra (c)

Temos

∫ 0 1 ( lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 f n x d x   ( 1 )

lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 n x 1 + n 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 2 ∫ 0 1 2 n x 1 + n 2 x 4 d x =

= lim n → ∞ ⁡ 1 2   a r c t g   n x 2 0 1 = 1 2 lim n → ∞ ⁡ a r c   t g   n - a r c t g   0 = 1 2 . π 2 = π 4     2  

De (1) e (2), segue que

∫ 0 1 ( lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) ) d x ≠ lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 1 f n x d x

Resposta

  1. Figura
  2. Demonstração
  3. Demonstração
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