Sejam a n ,   n ≥ 0 , e b n ,   n ≥ 1 , números reais dados. Seja f : - π ,   π → R dada por:

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n . cos ⁡ ( n x ) + b n . sen ⁡ ( n x )

Prove que F - π = F π .

Passo 1

Então galerinha, aqui nós vamos substituir os valores de x, ok?

F - π = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n . cos ⁡ ( - n π ) + b n . sen ⁡ ( - n π )

F π = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n . cos ⁡ ( n π ) + b n . sen ⁡ ( n π )

Sabemos que:

cos ⁡ ( - n π ) = cos ⁡ ( n π )

sen ⁡ ( - n π ) = sen ⁡ ( n π )

Então:

∑ n = 1 + ∞ a n . cos ⁡ ( - n π ) + b n . sen ⁡ ( - n π ) = ∑ n = 1 + ∞ a n . cos ⁡ ( n π ) + b n . sen ⁡ ( n π )

Se o termo a 0 2 também é constante:

F - π = F π

Tranquilinha, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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