2. Para cada n ≥ 1 , seja f n x = 1 + x + x 2 + … + x n .

a) Qual o domínio da função f dada por

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x )

b) A sequência f n , n ≥ 1 , converge uniformemente a f em [ 0,1 [ ? E em [ 0 , r ] , com 0 < r < 1 ?

Passo 1

Letra (a)

O domínio de f é o conjunto de todos os x para os quais a sequência f n ( x ) converge. Sendo assim temos que proceder da seguinte forma:

f x = lim n → ∞ ⁡ f n x = lim n → ∞ ⁡ x n = 0   p a r a   x < 1

Logo, D f = {   x ∈ R       t a l   q u e - 1 < x < 1 }

Passo 2

Letra (b)

Para convergência ser uniforme, dado ε > 0 tem que existir n 0   (que só depende de ε ) tal que

n > n 0 → x n - 0 < ε

Para todo x real. Como, para todo n > n 0

lim n → ∞ ⁡ x n - 0 = 0

Resulta que a convergência é uniforme no intervalo [ 0,1 [ . E como o outro intervalo função não se encontra definida, então ela não converge uniformemente a f no intervalo 0 , r .

Resposta

  1. , D f =   x ∈ R       t a l   q u e - 1 < x < 1
  2. Demonstração.
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