Determine uma função y = f ( x ) , com f 1 = 2 , tal que para todo t > 0 , com t no domínio de f , a área do conjunto:

x , y   ϵ   R 2   0 ≤ y ≤ f x 2 ,   0 ≤ x ≤ t   }

Seja igual a t . f t .

Passo 1

Então galerinha, vamos começar descobrindo nossa derivada, ok?

Se olharmos as informações que o problema nos disse:

Sabemos que a função passa pelo ponto 0 , y   e   ( t , y 2 ) , então a inclinação da reta tangente:

m = ∆ y ∆ t = y 2 - y t - 0

Como a inclinação da reta tangente é igual a derivada:

d y d t = y 2 - y t - 0

Separando as variáveis:

d t t = d y y 2 - y

E reorganizando o segundo termo por frações parciais:

d t t = d y y - 1 - d y y

Continua tudo igual, concordam?

Quando nós integramos:

∫ d t t = ∫ d y y - 1 - ∫ d y y

Obtemos que:

ln ⁡ t = ln ⁡ ( y - 1 ) - ln ⁡ y + C

Se f 1 = 2 :

ln ⁡ 1 = ln ⁡ ( 2 - 1 ) - ln ⁡ 2 + C

0 = 0 - ln ⁡ 2 + C

C = ln ⁡ 2

Então nossa equação será:

ln ⁡ t = ln ⁡ ( y - 1 ) - ln ⁡ y + ln ⁡ 2

ln ⁡ t + ln ⁡ y = ln ⁡ ( y - 1 ) + ln ⁡ 2

ln ⁡ t . y = ln ⁡ 2 ( y - 1 )

Aplicando o exponencial:

t y = 2 y - 2

Isolando o y:

2 y - t y = 2

y = 2 2 - t

Em função de x:

y x = 2 2 - x ,   c o m   x ≠ 2

Tranquilinha, não foi?

Resposta

y x = 2 2 - x ,   c o m   x ≠ 2

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