Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido

Letra b)

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 2 d x d y

Onde A n é a coroa circular

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n 2

Com n ≥ 2

Passo 1

O problema sugere uma integral de superfície e a superfície A n é a seguinte coroa circular

Passo 2

Se ao invés de resolvermos esta integral em coordenadas cartesianas, resolvermos em coordenadas polares o trabalho será deveras abreviado.

Podemos trabalhar em termos do ângulo teta ( θ ) e dos raios ( ρ ) das circunferências que compõem a coros, ou seja, θ varia de 0   r a d até 2 π   r a d , ou seja varre todo o plano

Para a restrição 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n 2 , só sabemos que n é maior ou igual a 2

E como agora estamos trabalhando com θ e ρ os diferenciais não serão mais d x d y e sim ρ d ρ d θ

Passo 3

Tirando a raiz quadrada da restrição teremos

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n

E ρ = x 2 + y 2 .

Aplicando ao limite vamos obter

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 2 d x   d y

Entre parênteses possuímos ρ elevado ao quadrado, que em seguida é novamente elevado ao quadrado, logo.

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 2 d x   d y = l i m n → + ∞ ∬ A n 1 ρ 4 ρ d θ d ρ

Obtendo

l i m n → + ∞ ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 n 1 ρ 3 d ρ

A primeira integral tem como resultado 2 π implicando em

2 π ⋅ l i m n → + ∞ - 1 2 n 2 + 1 2

O resultado de

l i m n → + ∞ - 1 2 n 2 + 1 2 = 1 2

Dessa forma

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 2 d x   d y = 2 π ⋅ 1 2 = π

Resposta

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 2 d x   d y = π

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