Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido

Letra c)

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 α d x d y

Onde A n é a coroa circular

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n 2

Com n ≥ 2 e α > 0 é um real dado

Passo 1

O problema sugere uma integral de superfície e a superfície A n é a seguinte coroa circular

Passo 2

Se ao invés de resolvermos esta integral em coordenadas cartesianas, resolvermos em coordenadas polares o trabalho será deveras abreviado.

Podemos trabalhar em termos do ângulo teta ( θ ) e dos raios ( ρ ) das circunferências que compõem a coros, ou seja, θ varia de 0   r a d até 2 π   r a d , ou seja varre todo o plano

O tamanho de ρ é ρ = x 2 + y 2 onde suas restrições podem ser obtidas

Para a restrição

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n 2

tirando a raiz quadrada

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n

E como agora estamos trabalhando com θ e ρ os diferenciais não serão mais d x d y e sim ρ d ρ d θ

Passo 3

O resultado para α = 1 será.

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x d y

Logo o limite pode ser reescrito como

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 ρ ρ d ρ d θ = l i m n → + ∞ ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 n d ρ  

A primeira integral tem como resultado 2 π e a segunda

∫ 1 n d ρ = n - 1

Então o limite ficará

l i m n → + ∞ 2 π n - 1 =   ∞

Passo 4

Para α ≠ 1

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 α d x d y

Igual a

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 ρ 2 α ρ d ρ d θ

Obtendo

l i m n → + ∞ ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 n p p 2 α d ρ       →   2 π ⋅ l i m n → + ∞ n 2 1 - α 2 1 - α - 1 2 1 - α

Passo 5

Sendo α > 1

2 π ⋅ l i m n → + ∞ n 2 1 - α 2 1 - α = 0

Pois a medida que α aumenta o índice sobre n fica cada vez mais negativo levando o limite a zero

Sendo α < 1

l i m n → + ∞ n 2 1 - α 2 1 - α = ∞

De forma análoga a medida que α seja menor que 1 levará o índice sobre n a valores positivos o que fará o limite assumir valor infinito

Resposta

Portanto

Se α > 1

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 α d x d y = π 2 1 - α

Se α ≤ 1

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 α d x d y = ∞

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