Calcule a soma da série dada.

sum_(k = 0)^n (1)/(( 4 k + 1 ) ( 4 k + 5 ))

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a série do enunciado podemos perceber que ela é telescópica, certo?

Nestes casos nós podemos fazer a série como função de:

sum_(k = 0)^n b_k - b_k + 1

Se:

b_k = (1)/((4 k + 1))

b_k + 1 = (1)/((4 ( k + 1 ) + 1)) = (1)/((4 k + 5))

Reorganizando:

sum_(k = 0)^n (1)/(( 4 k + 1 ) ( 4 k + 5 )) = (1)/(4) sum_(k = 0)^n [(1)/((4 k + 1)) - (1)/((4 k + 5))]

Uma pequena mudança, mas continua tudo igual, não é?

Resolvendo:

(1)/(4) sum_(k = 0)^n [(1)/((4 k + 1)) - (1)/((4 k + 5))] = (1)/(4) (1 + (1)/((4 k + 5)))

Quando aplicamos o limite:

underset(k -> oo)(lim) (1)/(4) (1 + (1)/((4 k + 5))) = (1)/(4)

Portanto a série vai convergir para ¼ .

Tranquilinha, né?

Resposta

sum_(k = 0)^n (1)/(( 4 k + 1 ) ( 4 k + 5 )) = (1)/(4)

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