Considerando a sequencia a m ,   m ≥ 0 , com a 0 = 1 e a m > 0 para todo m, dada por:

2   a r c t g   a m =   a r c t g   a m - 1

Mostre que, em particular:

π - 2 m + 2 a m ≤ 4 3 . 4 m

Interprete geometricamente a m .

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a letra (e) nós temos que:

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 4 2 n + 3 4 m ( n + 1 )

Para o caso em que n = 0 :

π - 2 m + 2 a m ≤ 4 3 . 4 m

Então, geometricamente, a m é a metade do lado de um polígono regular de 2 m + 2 lados circunscritos ao círculo de raio 1.

Se nós fizermos m = 0   o nosso polígono terá 4 lados, na fórmula:

π - 2 0 + 2 a 0 ≤ 4 3 . 4 0

π - 4 a 0 ≤ 4 3

Se tirarmos do módulo:

π - 4 a 0 = 4 3

3 π - 12 a 0 = 4

12 a 0 = 3 π - 4

a 0 = 0,452

Desenhando:

Quando nós calculamos a:

l = r 2 = 1,41

S e m i - p e r í m e t r o = 2 l = 2,82

Neste caso nós temos que se multiplicarmos a 0 por quatro nós teremos o valor do semi-perímetro.

Passo 2

Se nós fizermos m = 2   o nosso polígono terá 8 lados, na fórmula:

π - 2 1 + 2 a 1 ≤ 4 3 . 4 1

π - 8 a 1 ≤ 1 3

Se tirarmos do módulo:

π - 8 a 1 = 1 3

3 π - 24 a 1 = 1

24 a 1 = 3 π - 1

a 1 = 0 , 351

O lado do octógono será igual a:

l = r 2 - 2 = 1 2 - 2 = 0,765

Neste caso o semi-perímetro é dado por:

S e m i - p e r í m e t r o = 4 l = 3,06

Neste caso nós temos que se multiplicarmos a 1 por oito nós teremos um valor próximo ao do semi-perímetro do octógono.

A mesma informação nós podemos obter para os demais polígonos regulares !!

Tranquilinha, né?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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