Calcule as somas das séries:

  1. sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(2 k (2 k - 1))

Passo 1

Podemos reescrever a série da seguinte forma:

(1)/(2 k (2 k - 1)) = ((1)/(2 k - 1) - (1)/(2 k))

Passo 2

Portanto, a soma das séries:

sum_(k = 1)^(+ oo) ((1)/(2 k - 1) - (1)/(2 k)) = underset(k = 1)(ubrace ( 1 - (1)/(2) )) + underset(k = 2)(ubrace ( (1)/(3) - (1)/(4) )) + underset(k = 3)(ubrace ( (1)/(5) - (1)/(6) )) + ...

Passo 3

Essa soma é muito parecida com a série de Fourier para logaritmos:

ln (1 + p) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n + 1) ((p^n)/(n))

Tomando p = 1

ln (1 + 1) = ln (2) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n + 1) ((1)/(n)) = underset(n = 1)(ubrace 1) - underset(n = 2)(ubrace (1)/(2)) + underset(n = 3)(ubrace (1)/(3)) - ... + ...

Resposta

Logo, podemos concluir que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(2 k (2 k - 1)) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n + 1) ((1)/(n)) = l n ( 2 )

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