Determine para que a série seja convergente:
Passo 1
Para resolver essa belíssima questão, meus queridos, vamos fazer uso do critério da razão!!!
Esse critério nos garante que:
Seja a série , com para todo , onde q é um natural fixo. Suponhamos que exista, finito ou infinito. Seja:
Então,
a) é convergente.
b) é divergente.
c) Se , o critério não nos revela nada.
Passo 2
Nossa série é dada por:
Então, sem muita conversa, vamos aplicar o teste da razão:
Nossa série é dada por:
Vamos:
Como queremos que a série seja convergente, precisamos que , então, após fazermos as devidas simplificações, temos a nova equação dessa forma:
OBS:
Evidenciando n nas equações e colocando-as sob um único expoente:
Lembrem-se que:
Logo:
Pela regra do expoente, temos:
Como , a série converge para todo .
Resposta
Para a série irá convergir.