Determine x > 0 para que a série seja convergente:

sum_(n = 1)^(+ oo) (x^n)/(n^n)

Passo 1

Para resolver essa belíssima questão, meus queridos, vamos fazer uso do critério da razão!!!

Esse critério nos garante que:

Seja a série sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k , com a_k > 0 para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) exista, finito ou infinito. Seja:

L = underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k)

Então,

a) L < 1 => sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k é convergente.

b) L > 1 o u L = + oo => sum_(k = 0)^(+ oo ) a_k é divergente.

c) Se L = 1 , o critério não nos revela nada.

Passo 2

Nossa série é dada por:

sum_(n = 1)^(+ oo) (x^n)/(n^n)

Então, sem muita conversa, vamos aplicar o teste da razão:

Nossa série é dada por:

a_n = (x^n)/(n^n)

Vamos:

L = underset(n -> + oo)(lim) ((x^(n + 1))/((n + 1)^(n + 1)))/((x^n)/(n^n))

Como queremos que a série seja convergente, precisamos que L < 1 , então, após fazermos as devidas simplificações, temos a nova equação dessa forma:

L = underset(n -> + oo)(lim) (x * n^n)/((n + 1)^n * ( n + 1 )) < 1

OBS:

x * underset(n -> + oo)(lim) (n^n)/((n + 1)^n * ( n + 1 )) = x * underset(n -> + oo)(lim) (n^n)/((n + 1)^n) * underset(n -> + oo)(lim) (1)/(( n + 1 ))

Evidenciando n nas equações e colocando-as sob um único expoente:

x * underset(n -> + oo)(lim) ((n)/(n ( 1 + (1)/(n) )))^n * underset(n -> + oo)(lim) (1)/(( n + 1 )) = x * underset(n -> + oo)(lim) ((1)/(1 + (1)/(n)))^n * underset(n -> + oo)(lim) (1)/(( n + 1 )) =

Lembrem-se que:

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(n))^n = e

Logo:

(x)/(e) * underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n ( 1 + (1)/(n) ))

Pela regra do expoente, temos:

(x)/(e) * underset(n -> + oo)(lim) (1)/(n ( 1 + (1)/(n) )) = (x)/(e) * 0 = 0

Como L = 0 < 1 , a série converge para todo x > 0 .

Resposta

Para x > 0 a série irá convergir.

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