Calcule

Letra f)

underset(n -> oo)(lim) n [s e n (x_0 + (1)/(n)) - s e n (x_0)] , x_0 f i x o

Passo 1

Substituindo n por seu reciproco ficaremos com

underset(n -> oo)(lim) (s e n (x_0 + (1)/(n)) - s e n (x_0))/((1)/(n))

Passo 2

A parcela

s e n (x_0 + (1)/(n)) - s e n (x_0)

É uma subtração de arcos do tipo

s e n (alpha) - s e n (beta) = 2 s e n ((alpha - beta)/(2)) cos ((alpha + beta)/(2))

Onde

alpha = x_0 + (1)/(n)

E

beta = x_0

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s e n (x_0 + (1)/(n)) - s e n (x_0) = 2 s e n ((1)/(2 n)) cos ((1)/(2 n) + x_0)

Passo 3

O limite então é

underset(n -> oo)(lim) (2 s e n ((1)/(2 n)) cos ((1)/(2 n) + x_0))/((1)/(n))

Que multiplicado por 1 // 2 n em cima e embaixo ficará

underset(n -> oo)(lim) (s e n ((1)/(2 n)))/((1)/(2 n)) * (1)/(n) * cos ((1)/(2 n) + x_0)

Como x_0 é fixo ficaremos apenas com,

underset(n -> oo)(lim) (s e n ((1)/(2 n)))/((1)/(2 n)) * (1)/(n) * cos ((1)/(2 n) + x_0) = cos (x_0)

Resposta

underset(n -> oo)(lim) n [s e n (x_0 + (1)/(n)) - s e n (x_0)] = cos (x_0)

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