4. Considerando as hipóteses do critério de Dirichlet e olhando para a identidade de Abel, prove

a) lim n → ∞ ⁡ B n a n = 0

b) A série telescópia ∑ k = 0 ∞ ( a k - a k + 1 ) é convergente.

c) B k ( a k - a k + 1 ) ≤ B ( a k - a k + 1 )

d) A série ∑ k = 0 ∞ B k a k - a k + 1   é   convergente.

e) ∑ k = 0 ∞ a k b k = ∑ k = 0 ∞ B k ( a k - a k + 1 )

Passo 1

Letra (a)

B n é limitada a n tende a zero, logo, B n a n tende a zero.

Passo 2

Letra (b)

Como a n tende a zero, a série telescópica ∑ k = 0 ∞ ( a k - a k + 1 ) é convergente e igual a a 0 .

Passo 3

Letra (c)

Imediato.

Passo 4

Letra (d)

A série ∑ k = 0 ∞ B k ( a k - a k + 1 ) é convergente, pois é majorada pela série convergente ∑ k = 0 ∞ B ( a k - a k + 1 ) .

Passo 5

Letra (e)

Tendo em vista a identidade de Abel, segue que a série ∑ k = 0 ∞ a k b k é convergente e ∑ k = 0 ∞ a k b k = ∑ k = 0 ∞ B k ( a k - a k + 1 ) .

Resposta

Demonstrações.

Ver Outros Exercícios desse livro