5. Dê exemplo de uma sequência de funções tal que se tenha
Onde mas que não convirja uniformemente a em .
Passo 1
Seja Temos
Observe que é limitada e descontínua em apenas , logo integrável em Daí,
Por outro lado,
Portanto,
Passo 2
Vamos mostrar que a sequência de funções , onde não converge uniformemente a em Como os gráficos das ficam longe do gráfico de para um pequeno, seja
Então, como
Temos
Portanto, a convergência não é uniforme.
(Se convergisse uniformemente em , dado , existira tal que para todo , . Em particular, isto seria válido para , e daí o que contradiz (1) .
Resposta
Resposta em texto.