5. Dê exemplo de uma sequência de funções f n tal que se tenha

∫ a b f x d x = lim n → ⁡ ∫ a b f n x d x

Onde f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) , mas que f n não convirja uniformemente a f em [ a , b ] .

Passo 1

Seja f n x = n 2 x 2 1 + n 2 x 2 . Temos

f x = lim n → ∞ ⁡ f n x = lim n → ∞ ⁡ n 2 x 2 1 + n 2 x 2 = 1 ,       x ≠ 0   e   f 0 = 0

Observe que f é limitada e descontínua em apenas x = 0 , logo integrável em - 1,1 . Daí,

∫ - 1 1 lim n → ∞ ⁡ f n x d x = ∫ - 1 d x = 2

Por outro lado,

lim n → ∞ ⁡ ∫ - 1 1 n 2 x 2 1 + n 2 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ n x - a r c t g n x n - 1 1 = 2

Portanto,

∫ - 1 1 f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ - 1 1 f n x d x

Passo 2

Vamos mostrar que a sequência de funções f n ,   n ≥ 1 , onde f n x = n 2 x 2 1 + n 2 x 2   não converge uniformemente a f x = 1 em - 1,1 . Como os gráficos das f n ficam longe do gráfico de f para um x pequeno, seja x n = 1 n   ∈ - 1,1 .

Então, como f - f n x = 1 - n 2 x 2 1 + n 2 x 2 = 1 1 + n 2 x 2

Temos

lim n → ∞ ⁡ f - f n 1 n = 1 2 ≠ 0     ( 1 )

Portanto, a convergência não é uniforme.

(Se f n convergisse uniformemente em [ - 1,1 ] , dado ε > 0 , existira n 0 tal que para todo x ∈ [ - 1,1 ] , n > n 0 → f x - f n ( x ) < ε . Em particular, isto seria válido para x = x n , e daí lim n → ∞ ⁡ ( f - f n ) ( x n ) = 0 o que contradiz (1) .

Resposta

Resposta em texto.

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