Considere a e q u a ç ã o   d e   C l a i r a u t :

y = x y ' + y ' 2

Prove que toda solução y = y ( x ) de 1 que seja derivável até a 2 ª ordem é, também, solução de

x + 2 y ' y ' ' = 0

Determine, então, uma família de soluções de 1.

( S u g e s t ã o : D e r i v e   e m   r e l a ç ã o   a   x   o s   d o i s   m e m b r o s   d e   1 ) .

Observação: Seja ψ ( u ) uma função de uma variável definida num intervalo. Toda equação do tipo

y = x y ' + ψ ( y ' )

Denomina-se equação de Clairaut.

Passo 1

Vamos começar a resolução do Problema!

Da equação de Clairaut, aceitaremos a S u g e s t ã o e derivaremos 1 em relação a x :

y ' = y ' + x y ' ' + 2 y ' y ' '

x + 2 y ' y ' ' = 0

Agora, pegaremos o termo entre parênteses e igualaremos a 0:

x + 2 y ' = 0

y ' = - x 2

d y d x = - x 2

Separando as variáveis:

d y = - x 2 d x

∫ d y = - ∫ x 2 d x

Integrando:

y = - x 2 4 + c

Passo 2

Substituindo y e y ' em 1:

- x 2 4 + c = x - x 2 + - x 2 2

- x 2 4 + c = - x 2 2 + x 2 4

c = 2 x 2 4 - x 2 2 = 0

Então:

y = - x 2 4

É solução de 1!

Passo 3

Provando que para todo N ∈ R . y = N x + N 2 é solução de 1:

y = x y ' + y ' 2

Substituindo y e y ' :

N x + N 2 = x N + N 2

0 = 0

Desse modo, y = - x 2 4 e y = N x + N 2 ,   N ∈ R são soluções de 1.

Resposta

y = - x 2 4 e y = N x + N 2 ,   N ∈ R são soluções de 1.

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