Considere a equação

x ¨ + b x ˙ + c x = f 1 t + f 2 t                   ( 1 )

Prove que se g 1 t for solução particular de x ¨ + b x ˙ + c x = f 1 t e g 2 t solução particular de x ¨ + b x ˙ + c x = f 2 t , então g 1 t + g 2 t será solução particular de 1 .

Passo 1

Se g 1 t é solução de x ¨ + b x ˙ + c x = f 1 t , então:

g 1 ' ' t + b   g 1 ' t + c   g 1 t = f 1 t

Da mesma forma, se g 2 t é solução de x ¨ + b x ˙ + c x = f 2 t :

g 2 ' ' t + b   g 2 ' t + c   g 2 t = f 2 t

Passo 2

Somando as duas equações:

g 1 ' ' t + g 2 ' ' t + b   g 1 ' t + g 2 ' t + c   g 1 t + g 2 t = f 1 t + f 2 t

Assim,

g 1 t + g 2 t ' ' + b   g 1 t + g 2 t ' + c   g 1 t + g 2 t = f 1 t + f 2 t

Portanto, vemos que x t = g 1 t + g 2 t é solução da equação

x ¨ + b x ˙ + c x = f 1 t + f 2 t

Era isso que o exercício pedia para demonstrarmos!

Resposta

Demonstração.

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