Seja , , uma sequência numérica dada. Suponha que a série convirja uniformemente em . Seja , . Prove que, para todo natural ,
Passo 1
Sabendo que , temos que:
Pelo enunciado, devemos supor que a série convirja uniformemente em , do mesmo modo, podemos inferir que a série contendo também convirja em .
Passo 2
Sendo , temos:
Integrando:
Aplicando os limites:
Sendo um número inteiro, temos que:
Então:
Desse modo, quando temos , a série convergirá para .
Passo 3
Sendo , temos:
Integrando:
Aplicando os limites:
Sabendo que tanto quanto são números inteiros distintos, temo que:
Assim:
Desse modo, quando temos , a série convergirá para 0.
Passo 4
Para obtermos convergente, devemos dividir a integral pelo limite encontrado quando :
Resposta
Sendo , a série convergirá para .
Sendo , a série convergirá para 0.