Seja a k , k ≥ 1 , uma sequência numérica dada. Suponha que a série ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x convirja uniformemente em [ - π ,   π ] . Seja F x = ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x , x   ϵ   [ - π ,   π ] . Prove que, para todo natural k ≥ 1 ,

a k = 1 π ∫ - π π F x cos ⁡ k x d x

Passo 1

Sabendo que F x = ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x , temos que:

∫ - π π F ( x ) cos ⁡ k x d x = lim m → + ∞ ⁡ ∫ - π π ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x

Pelo enunciado, devemos supor que a série ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x convirja uniformemente em [ - π ,   π ] , do mesmo modo, podemos inferir que a série contendo cos ⁡ k x também convirja em [ - π ,   π ] .

Passo 2

Sendo n = k , temos:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = ∫ - π π cos 2 ⁡ n x d x

Integrando:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 2 x + 1 2 n s e n   2 n x π - π

Aplicando os limites:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 2 π + 1 2 n s e n   2 n π + π + 1 2 n s e n   2 n π

Sendo n um número inteiro, temos que:

s e n   2 n π = 0

Então:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 2 2 π = π

Desse modo, quando temos n = k , a série convergirá para π .

Passo 3

Sendo n ≠ k , temos:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x

Integrando:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 k cos ⁡ n x s e n   k x + n 2 k 1 n - k s e n   n x - k x - 1 n + k s e n   n x + k x π - π

Aplicando os limites:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 k cos ⁡ n π s e n   k π + n 2 k 1 n - k s e n   n π - k π - 1 n + k s e n   n π + k π

Sabendo que tanto n quanto k são números inteiros distintos, temo que:

s e n   n x = s e n   k π = s e n   n π - k π = s e n   n π + k π = 0

Assim:

∫ - π π cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 0

Desse modo, quando temos n ≠ k , a série convergirá para 0.

Passo 4

Para obtermos a k convergente, devemos dividir a integral pelo limite encontrado quando n = k :

a k = 1 π ∫ - π π ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n x cos ⁡ k x d x = 1 π ∫ - π π F ( x ) cos ⁡ k x d x

Resposta

Sendo n = k , a série convergirá para π .

Sendo n ≠ k , a série convergirá para 0.

a k = 1 π ∫ - π π F ( x ) cos ⁡ k x d x

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