Considere a equação , onde e são definidas e contínuas no mesmo intervalo . Determine e , definidas em , de modo que a mudança de variável transforme a equação dada em .
Passo 1
Fala pessoal! Nós temos a equação diferencial
Queremos fazer a mudança de variável para transformar essa equação em
Para isso, temos que achar e convenientes!
Vamos partir de . Derivando uma vez:
Derivando novamente,
Assim,
Passo 2
Substituindo , e na equação :
Juntando os termos de acordo com as derivadas em :
Como queremos que essa equação seja escrita como
Vamos forçar o termo que multiplica a ser zero:
Assim,
Logo,
Substituindo isso em :
Ou ainda,
Substituindo :
Logo,
Passo 3
Eu sei que tá ficando confuso, então vamos voltar para a equação que a gente tinha:
Forçamos o termo do meio a sumir com
Depois olhamos para essa equação! Com isso, vimos que o termo que multiplica é
Assim, a equação fica:
Dividindo a equação por :
Assim, como queremos escrever , devemos ter
Passo 4
Agora vamos procurar , que deve ser solução da EDO:
Ou ainda
Para resolver essa equação:
Integrando em dos dois lados:
Ou ainda,
Resumindo tudo, dada a equação
Fazendo a transformação
com
a obtemos a equação
com
Resolvendo essa equação para e achando , temos a solução para !