Considere a equação y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , onde p ( x ) e q ( x ) são definidas e contínuas no mesmo intervalo I . Determine h x e g x , definidas em I , de modo que a mudança de variável y = h x   u transforme a equação dada em u ' ' + g x   u = 0 .

Passo 1

Fala pessoal! Nós temos a equação diferencial

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Queremos fazer a mudança de variável y = h x   u para transformar essa equação em

u ' ' + g x   u = 0

Para isso, temos que achar h x e g x convenientes!

Vamos partir de y = h x   u . Derivando uma vez:

y ' = h ' x   u + h x   u '

Derivando novamente,

y ' ' = h ' ' x   u + h ' x   u ' + h ' x   u ' + h x   u ' '

Assim,

y ' ' = h ' ' x   u + 2   h ' x   u ' + h x   u ' '

Passo 2

Substituindo y ' , y ' ' e y na equação y ' ' + p x y ' + q x y = 0 :

h ' ' x   u + 2   h ' x   u ' + h x   u ' ' + p x h ' x   u + h x   u ' + q x   h x   u = 0

Juntando os termos de acordo com as derivadas em u :

h x   u ' ' + 2 h ' x + p x h x   u ' + h ' ' x + p x h ' x + q x h x   u = 0

Como queremos que essa equação seja escrita como

u ' ' + g x   u = 0

Vamos forçar o termo que multiplica u ' a ser zero:

2 h ' x + p x h x = 0

Assim,

h ' ( x ) = - p x h x 2

Logo,

h ' ' ( x ) = - p ' x h x 2 - p x h ' x 2

Substituindo isso em I = h ' ' x + p x h ' x + q x h x :

I = - p ' x h x 2 - p x h ' x 2 + p x h ' x + q x h ( x )

Ou ainda,

I = - p ' x h x 2 + p x h ' x 2 + q x h ( x )

Substituindo h ' x = - p x h ( x ) / 2 :

I = - p ' x h x 2 + p x 2 ⋅ - p x h x 2 + q x h x

Logo,

I = - p ' x 2 - p x 2 4 + q x h ( x )

Passo 3

Eu sei que tá ficando confuso, então vamos voltar para a equação que a gente tinha:

h x   u ' ' + 2 h ' x + p x h x   u ' + h ' ' x + p x h ' x + q x h x   u = 0

Forçamos o termo do meio a sumir com

h ' x = - p x h x 2

Depois olhamos para essa equação! Com isso, vimos que o termo que multiplica u é

I = - p ' x 2 - p x 2 4 + q x h ( x )

Assim, a equação fica:

h x   u ' ' + - p ' x 2 - p x 2 4 + q x h x   u = 0

Dividindo a equação por h ( x ) :

u ' ' + - p ' x 2 - p x 2 4 + q x   u = 0

Assim, como queremos escrever u ' ' + g x   u = 0 , devemos ter

g x = - p ' x 2 - p x 2 4 + q x

Passo 4

Agora vamos procurar h ( x ) , que deve ser solução da EDO:

h ' x = - p x h x 2

Ou ainda

h ' x h ( x ) = - p x 2

Para resolver essa equação:

d h h = - p x 2   d x

Integrando em x dos dois lados:

ln ⁡ h = - 1 2 ∫ p x   d x

Ou ainda,

h x = e - 1 2 ∫ p x   d x

Resumindo tudo, dada a equação

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Fazendo a transformação

y = h x   u

com

h x = e - 1 2 ∫ p x   d x

a obtemos a equação

u ' ' + g x   u = 0

com

g x = - p ' x 2 - p x 2 4 + q x

Resolvendo essa equação para u e achando h ( x ) , temos a solução para y !

Resposta

g x = - p ' x 2 - p x 2 4 + q x

h x = e - 1 2 ∫ p x   d x

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