Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

L d i d t + R i = E t

onde L (Henry) é a indutância, R (Ohms) a resistência, i (Ampère) é a corrente e E (Volt) a força eletromotriz. Resolva a equação supondo

b) L = 2 , R = 10 , E t = 110   s e n   120 π t e i = 0 para t = 0 .

Passo 1

Dividindo a EDO original por L , obtemos

d i d t + R L   i = E t L

Essa é uma equação do tipo

d i d t + a i = f t

Para resolver essa equação, calculamos o fator integrante:

I = e ∫ a   d t = e a t

Como a = R / L :

I = e R L   t

Multiplicando a equação por esse fator:

d i d t e R L   t + R L   i   e R L   t = E t L e R L   t

Passo 2

Note que o lado direito é fatorado como

d i d t e R L   t + R L   i   e R L   t = d d t i   e R L   t

Assim,

d d t i   e R L   t = E t L e R L   t

Integrando dos dois lados:

i   e R L   t = 1 L ∫ E t   e R L   t   d t

Passo 3

Nesse caso, L = 2 , R = 10 e E t = 110   s e n   120 π t :

1 L ∫ E t   e R L   t   d t = 110 2   ∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t

Para fazer essa integral, usamos integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = s e n   120 π t e d v = e 5 t   d t :

d u = 120 π cos ⁡ 120 π t   d t             e             v = e 5 t

Assim,

∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t = s e n   120 π t   e 5 t - 120 π   ∫ cos ⁡ 120 π t   e 5 t   d t

Para a integral que sobrou, fazemo partes de novo com u = cos ⁡ 120 π t e d v = e 5 t   d t :

d u = - 120 π   s e n   120 π t

∫ cos ⁡ 120 π t   e 5 t   d t = cos ⁡ 120 π t e 5 t + 120 π ∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t

Chamando I = ∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t :

I = s e n   120 π t   e 5 t - 120 π   cos ⁡ 120 π t e 5 t + 120 π I

Logo,

I = s e n   120 π t   e 5 t - 120 π cos ⁡ 120 π t e 5 t - 14400 π 2 I

Assim,

1 + 14400 π 2   I = s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t e 5 t

Portanto,

∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t = s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 1 + 14400 π 2

Desta forma, como

1 L ∫ E t   e R L   t   d t = 55   ∫ s e n   120 π t   e 5 t   d t

Temos que

1 L ∫ E t   e R L   t   d t = 55 ⋅ s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 1 + 14400 π 2 + C

Passo 4

Voltando para a equação

i   e R L   t = 1 L ∫ E t   e R L   t   d t

Temos que

i   e 5 t = 55 ⋅ s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 1 + 14400 π 2 + C

Portanto,

i t = 55 ⋅ s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t 1 + 14400 π 2 + C e - 5 t

Como i 0 = 0 :

0 = 55 1 + 14400 π 2 ⋅ 0 - 120 π + C

Portanto,

C = 6600 π 1 + 14400 π 2

Logo,

i t = 55 ⋅ s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t 1 + 14400 π 2 + 6600 π e - 5 t 1 + 14400 π 2

Resposta

i t = 55 ⋅ s e n   120 π t - 120 π cos ⁡ 120 π t 1 + 14400 π 2 + 6600 π e - 5 t 1 + 14400 π 2

Ver Outros Exercícios desse livro