8. Considere a equação x 4 y ' ' + y = 0 , x ≠ 0 . Tente soluções da forma

α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Conclua que a solução geral é:

y = x k 1 sin ⁡ 1 x + k 2 cos ⁡ 1 x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é pegar a nossa solução em forma de série:

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k   →

E derivá-la...

y ' = β + ∑ k = 1 ∞ - k a k x - k - 1   →

y ' ' = ∑ k = 1 ∞ - - k - 1 k a k x - k - 2 =

∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k - 2

Veja que o início dos somatórios não muda, pois estamos lidando com x - k   e não com x k como estávamos acostumados.

Passo 2

Beleza! Com isso podemos substituir na EDO:

x 4 y ' ' + y = 0     →

x 4 ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k - 2 + α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k = 0   →

Passando o x 4 para dentro da EDO...

∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 + α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k = 0   →

Bem, como o nosso intuito é juntar esses somatórios, podemos fazer o último somatório ter o mesmo x - k + 2 , fazendo uma mudança de variável:

- m + 2 = - k   →

k = m - 2

Então...

α + β x + ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 + ∑ m - 2 = 1 ∞ a m - 2 x - m + 2 = 0   →

Como m é só o nome do índice, podemos nomeá-lo de k novamente:

α + β x + ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 + ∑ k = 3 ∞ a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Antes de colocarmos sobre o mesmo somatório, temos que fazer com que eles comecem do mesmo k = 3 . Para isso, basta desmembrar o primeiro somatório até chegar lá substituindo os k ’s anteriores:

α + β x + 2 1 a 1 x + 3 2 a 2 + ∑ k = 3 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 + ∑ k = 3 ∞ a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Agora sim, colocando no mesmo somatório...

α + 3 ⋅ 2 a 2 + β + 2 a 1 x + ∑ k = 3 ∞ k + 1 k a k + a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Pois bem, para isso ser igual a 0 , todos os termos dos colchetes devem ser 0 , já que x ≠ 0 :

α + 3 ⋅ 2 a 2 = 0  

β + 2 a 1 = 0

k + 1 k a k + a k - 2 = 0

E essa é a lei de recorrência!

Passo 3

Para resolver isso, veja que...

a 2 = - α 3 ⋅ 2

a 1 = - β 2

Pela lei de recorrência...

k + 1 k a k + a k - 2 = 0   →

k + 1 k a k = - a k - 2   →

a k = - a k - 2 k + 1 k  

Lembre-se de que ao chegar aqui, devemos substituir valores até encontramos um padrão, então vamos lá:

k = 3               →                     a 3 = - a 1 3 + 1 3 = β 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 4               →                     a 4 = - a 2 4 + 1 4 = α 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 5               →                     a 5 = - a 3 5 + 1 5 = - β 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 6               →                     a 6 = - a 4 6 + 1 6 = - α 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Perceba que podemos encontrar esses termos aqui mesmo sem substituir:

a 7 = β 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

a 8 = α 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Isso significa que já podemos generalizar! Para isso, vamos dividir o a em pares e ímpares:

a k = a 2 k = - 1 k 2 k + 1 ! α   a 2 k - 1 = - 1 k 2 k ! β

Passo 4

Beleza, sabemos que a resposta da EDO é essa aqui:

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k   →

Separando em termos pares e ímpares também esse somatório aí...

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a 2 k x - 2 k + ∑ k = 1 ∞ a 2 k - 1 x - 2 k - 1   →

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! α x - 2 k + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k ! β x - 2 k - 1   →

Poxa! Veja que se consideramos os k = 0 nos dois somatórios:

- 1 0 1 ! α = α           e           - 1 0 0 ! β x - - 1 = β x

Isso significa que podemos aglutinar esses dois termos fora da série e colocando k começando de 0 ao invés de 1 :

y = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! α x - 2 k + ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! β x - 2 k - 1  

Passo 5

Veja que esse resultado é quase um seno e cosseno de fato! Mas precisamos fazer alguns ajustes: primeiro eliminar α e β de dentro e colocar x - 1 fora:

y = α ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x - 1 2 k + β ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! x - 1 2 k - 1

Agora, multiplicar e dividir por x - 1 ...

y = α x - 1 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x - 1 2 k x - 1 + β x - 1 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! x - 1 2 k - 1 x - 1   →

y = α x ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 + β x ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! x - 1 2 k   →

Finalmente esses caras representam o seno e cosseno de x - 1 respectivamente:

y = α x sin ⁡ 1 x + β x cos ⁡ 1 x →

Colocando x em evidência e chamando α de k 1 e β de k 2 ...

y = x k 1 sin ⁡ 1 x + k 2 cos ⁡ 1 x

Resposta

y = α x ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 + β x ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! x - 1 2 k   →

y = x k 1 sin ⁡ 1 x + k 2 cos ⁡ 1 x

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