8. Considere a equação , . Tente soluções da forma
Conclua que a solução geral é:
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer aqui é pegar a nossa solução em forma de série:
E derivá-la...
Veja que o início dos somatórios não muda, pois estamos lidando com e não com como estávamos acostumados.
Passo 2
Beleza! Com isso podemos substituir na EDO:
Passando o para dentro da EDO...
Bem, como o nosso intuito é juntar esses somatórios, podemos fazer o último somatório ter o mesmo , fazendo uma mudança de variável:
Então...
Como é só o nome do índice, podemos nomeá-lo de novamente:
Antes de colocarmos sobre o mesmo somatório, temos que fazer com que eles comecem do mesmo . Para isso, basta desmembrar o primeiro somatório até chegar lá substituindo os ’s anteriores:
Agora sim, colocando no mesmo somatório...
Pois bem, para isso ser igual a , todos os termos dos colchetes devem ser , já que :
E essa é a lei de recorrência!
Passo 3
Para resolver isso, veja que...
Pela lei de recorrência...
Lembre-se de que ao chegar aqui, devemos substituir valores até encontramos um padrão, então vamos lá:
Perceba que podemos encontrar esses termos aqui mesmo sem substituir:
Isso significa que já podemos generalizar! Para isso, vamos dividir o em pares e ímpares:
Passo 4
Beleza, sabemos que a resposta da EDO é essa aqui:
Separando em termos pares e ímpares também esse somatório aí...
Poxa! Veja que se consideramos os nos dois somatórios:
Isso significa que podemos aglutinar esses dois termos fora da série e colocando começando de ao invés de :
Passo 5
Veja que esse resultado é quase um seno e cosseno de fato! Mas precisamos fazer alguns ajustes: primeiro eliminar e de dentro e colocar fora:
Agora, multiplicar e dividir por ...
Finalmente esses caras representam o seno e cosseno de respectivamente:
Colocando em evidência e chamando de e de ...