13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação:

B - x 2 ln ⁡ x y ' ' + y = 0 ,           x > 0

Passo 1

No problema anterior, verificamos que se uma EDO tem esse formato aqui:

y ' ' = h ' ' x h x y

Então a solução geral dela é dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Certo?

Então temos que encontrar primeiro quem é h x e depois integrar! Vamos nessa?

Passo 2

Veja que a EDO que estamos lidando aqui é:

x 2 ln ⁡ x y ' ' + y = 0   →

y ' ' = - 1 x 2 ln ⁡ x y

Por comparação, se tomarmos...

h x = x 2 ln ⁡ x  

Então podemos encontrar as derivadas (em especial a segunda). Mas como temos um produto, quando derivarmos, não vamos encontra - 1 , neh? Então h x não pode ser esse produto aí não! Vamos tentar pegar h x = ln ⁡ x :

h ' x = - ln ⁡ x - 1   →

h ' ' x = - 1 x 2

Ora, com essa escolha de h x , se fizermos...

y ' ' = h ' ' x h x y   →

y ' ' = - 1 x 2 ln ⁡ x y   →

y ' ' = - 1 x 2 ln ⁡ x y

AHA! De Fato a nossa EDO possui o formato que a gente quer provando que h x de fato deve ser h x = ln ⁡ x .

Sendo assim...

Passo 3

A Resposta geral será dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x   →

y = c 1 ln ⁡ x + c 2 ln ⁡ x ∫ 1 ln ⁡ x 2 d x  

Como essa integral não tem primitivas analíticas, a gente pode parar por aqui, saca?

Resposta

y = c 1 ln ⁡ x + c 2 ln ⁡ x ∫ 1 ln ⁡ x 2 d x  

Ver Outros Exercícios desse livro