2. Considere a equação
A - Tome uma solução da forma
B - Olhando para as soluções encontradas em A, conclua que é uma solução.
C - Mostre que é razoável tentar-se outra solução da forma
D - Determine a solução geral da equação dada.
Passo 1
A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que
E só para , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites
Então ele é um ponto singular regular.
Passo 2
Agora fazemos
A gente vai descobrir que no final, vai ser ficando com o formato pedido na letra A. Mas como é um ponto singular regular, precisamos o levar em consideração!
E substituímos na Edo
Passo 3
Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, .
E
Vamos ter então
Passo 4
Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto
Vamos agora resolver a equação indicial
Como
AHA! Um dos de fato é e a solução do problema para ele vai ser...
O outro gera a outra solução , mas isso a gente vai descobrir depois! Vamos focar em obter a solução , beleza?
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o em evidência
Vamos encontrar a relação de recorrência
Como temos em ambas as parcelas, podemos cortar, já que ...
Então...
Passo 6
Considerando para determinarmos a solução que agente quer na letra A...
Repara que vamos ter
Passo 7
Lembrando que e
Vamos ter
Está aí! A nossa Solução com o formato pedido!
Passo 8
Bem, aqui temos que a solução é uma solução. Ora, de fato a série que encontramos se parece com a série de Taylor da exponencial:
Ou, se for negativo:
Então temos que dar uma manipulada na nossa solução até a gente encontrar o que queremos saca? Vamos começar aqui falando que e , afinal esses caras são constantes que dependem das condições iniciais, portanto você pode os escolher de forma conveniente para você!
Se multiplicarmos e dividirmos por de forma que não altera a equação e ao mesmo tempo a gente obtém ...
Se somarmos então na frente de todo ...
EPA! Esse somatório é exatamente a exponencial de termos negativos: