10. Esboce o gráfico da solução da equação do exercício anterior que satisfaz as condições iniciais:

y 1 = e - 1           e               y ' 1 = 2 e - 1

Passo 1

No problema anterior, determinamos a solução geral da EDO que nos gerou o seguinte resultado:

y = c 1 x + c 2 x e - 1 / x

Aplicando aquelas condições iniciais ali...

y 1 = c 1 + c 2 e - 1 →

e - 1 = c 1 + c 2 e - 1

Aplicando segunda condição (mas antes derivando a solução)...

y ' x = c 1 + c 2 e - 1 x + c 2 x e - 1 x ⋅ 1 x 2 →

y ' x = c 1 + c 2 e - 1 x + c 2 x e - 1 x

Aplicando agora...

y ' 1 = c 1 + c 2 e - 1 + c 2 e - 1 →

2 e - 1 = c 1 + 2 c 2 e - 1

Então, das duas equações...

e - 1 = c 2 e - 1   →         c 2 = 1

e - 1 = c 1 + c 2 e - 1   →         c 1 = 0

Logo a resposta particular da nossa EDO será...

y = x e - 1 / x

Passo 2

Desenhando ela em um gráfico, então teremos:

Mas assim. A condição de existência está atrelada a x > 0 , então o gráfico não pode ter essa parte negativa:

Resposta

y = x e - 1 / x

E seu gráfico será:

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