5. Considere a equação
A - Verifique que , é solução.
B - Utilizando o exercício anterior, determine outras soluções.
C - Determine a solução geral.
Passo 1
Queremos ver se é solução dessa equação:
Se ela for solução, então podemos derivar...
E substituir:
Ora, não chegamos a nenhuma contradição como ou outro absurdo qualquer. O que significa que de fato é solução da EDO dada!
Passo 2
Sabemos do exercício anterior a esse que a solução dessa EDO de 1ª ordem aqui é também solução da EDO de ordem que queremos:
Onde é a solução da EDO de Ordem que já temos, ou seja...
Como a derivada de é ...
Calculando esse determinante...
Agora, quem é ?
Passo 3
A EDO de Ordem que estamos lidando no problema é essa daqui:
Como , podemos dividir todo mundo por ...
De acordo com o formato padrão de EDO de Ordem...
Vemos por comparação quem é o :
Então...
Veja que aqui não precisa adicionar a constante de integração , então...
Dividindo todo mundo aí por ...
UMA EDO DE ORDEM! Vamos resolvê-la?
Passo 4
De acordo com a nossa teoria, a solução dessa EDO é...
Onde é o fator integrante:
Sim, e vem da nossa EDO:
Então...
SHOW! Então a solução será...
Para calcular essa integral, podemos usar integração por partes:
Então...
Ou seja, a solução será...
E essas são as outras soluções da EDO!
Passo 5
A solução geral será a combinação linear das duas soluções:
Onde e são as soluções fundamentais linearmente independentes entre si!
Se uma solução for e a outra , vamos ver se elas satisfazem a condição de LI usando o wronskiano:
Como , então o Wronskiano é de fato maior que sempre, o que prova que elas são de LI e portanto...
Resposta
Letra A: Demonstração.
Letra B:
Letra C: