9. Considere a equação
Onde e são supostas definidas e contínuas no intervalo .
- Os gráficos de suas soluções distintas podem intercepta-se? Dê exemplos.
- Sejam e , , duas soluções distintas de . Suponha que os gráficos de e interceptam-se num ponto de abscissa Neste ponto, os gráficos de e podem admitir a mesma reta tangente? Por quê?
Passo 1
Bem, se duas funções e , são soluções, ou seja...
Pelo teorema de existência e unicidade a única forma dessas soluções serem iguais (única) é se as condições iniciais dela forem às mesmas, ou seja:
Onde é um ponto qualquer no intervalo onde a equação é válida, ou seja, em .
Repare que a condição de unicidade envolve um “”. Isso significa que se só uma das condições for verdadeira, e a outra não, as soluções deixam de ser iguais e passam a ser distintas:
Se a condição que for verdadeira for à primeira, ou seja:
Isso significa que pelo menos para um no intervalo () as funções e se interceptam!
EXEMPLO:
EM teremos...
Mas claramente as duas funções são distintas, logo no mínimo a condição das derivadas não deve ser verdade, ou seja:
Saca?
Passo 2
Aqui estamos considerando que e estão se encontrando em , ou seja:
Admitir a mesma reta tangente no ponto , significa que o coeficiente angular da reta tangente deve ser os mesmos. Coeficiente angular é a derivada, ou seja:
A gente acabou de ver que se isso acontecer, então e são iguais!
Como no nosso problema estamos assumindo que elas são distintas, então NÃO... Ela não admitirá a mesma reta tangente no ponto .
Resposta
Letra A: Podem se interceptar. Exemplo: e no ponto .
Letra B: Não podem admitir a mesma reta tangente nesse ponto.