9. Considere a equação

  1                                   y ' ' + p x y ' + q x y = 0  

Onde p e q são supostas definidas e contínuas no intervalo I .

  1. Os gráficos de suas soluções distintas podem intercepta-se? Dê exemplos.
  2. Sejam y = f x e y = g x , x ∈ I , duas soluções distintas de 1 . Suponha que os gráficos de f e g interceptam-se num ponto de abscissa x 0 . Neste ponto, os gráficos de f e g podem admitir a mesma reta tangente? Por quê?

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, se duas funções f x e g x , são soluções, ou seja...

y = f ( x )   e   y = g x

Pelo teorema de existência e unicidade a única forma dessas soluções serem iguais (única) é se as condições iniciais dela forem às mesmas, ou seja:

f x 0 = g x 0       e             f ' x 0 = g ' x 0

Onde x 0 é um ponto qualquer no intervalo onde a equação é válida, ou seja, em I .

Repare que a condição de unicidade envolve um “ e ”. Isso significa que se só uma das condições for verdadeira, e a outra não, as soluções deixam de ser iguais e passam a ser distintas:

f ≠ g

Se a condição que for verdadeira for à primeira, ou seja:

f x 0 = g x 0

Isso significa que pelo menos para um x no intervalo I ( x = x 0 ) as funções f e g se interceptam!

EXEMPLO:

f x = e x           e               g x = x e x

EM x 0 = 1 teremos...

f x 0 = g x 0 = e 1

Mas claramente as duas funções são distintas, logo no mínimo a condição das derivadas não deve ser verdade, ou seja:

f ' x 0 = e x 0             e                     g ' x 0 = x 0 e x 0 + e x 0     →

f ' 1 = e             e                     g ' 1 = e + e     →

f ' 1 ≠ g ' 1

f ' x 0 ≠ g ' x 0

Saca?

Passo 2

L e t r a   B :

Aqui estamos considerando que f e g estão se encontrando em x 0 , ou seja:

f x 0 = g x 0

Admitir a mesma reta tangente no ponto x 0 , significa que o coeficiente angular da reta tangente deve ser os mesmos. Coeficiente angular é a derivada, ou seja:

f ' x 0 = g ' x 0

A gente acabou de ver que se isso acontecer, então f e g são iguais!

Como no nosso problema estamos assumindo que elas são distintas, então NÃO... Ela não admitirá a mesma reta tangente no ponto x 0 .

Resposta

Letra A: Podem se interceptar. Exemplo: f x = e x e g x = x e x no ponto x = 1 .

Letra B: Não podem admitir a mesma reta tangente nesse ponto.

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